Hallo zusammen,
folgende Gleichung ist gegeben:
x = (1/2)*sqrt(7-4*sqrt(3))+(1/2)*sqrt(3)
Man soll x bestimmen, ohne TR natürlich. Hat jemand eine Idee für die Herangehensweise? Lösung ist x=1. Wichtig ist der Weg.
Danke im Voraus!
Tommy
Hallo Tommy,
x = (1/2)*sqrt(7-4*sqrt(3))+(1/2)*sqrt(3)
ich würde den Ansatz versuchen, 7-4*sqrt(3) in der Form (a+b)^2 darzustellen (Stichwort binomische Formeln); dann könnte man die umgebende Wurzel einfach ziehen. (Wie ich darauf komme? Das -4*sqrt(3) „riecht“ für mich nach dem 2ab aus a^2 + 2ab + b^2; a oder b enthält dann sqrt(3), und das würde im a^2 + b^2 „verschwinden“, so dass die 7 herauskommt.)
Also b = c*sqrt(3). Damit
(a+b)^2 = (a+c\*sqrt(3))^2
= a^2 + 2ac\*sqrt(3) + 3c^2
= (a^2 + 3c^2) + 2ac\*sqrt(3)
7 - 4 \*sqrt(3)
Jetzt nur noch passende Werte für a und c finden …
Andreas
Hi Thomas,
mit 2 multplizieren, sqrt(3) auf die line Seite bringen und dann quadieren und zuammenfassen führt zu
x² - sqrt(3)*(x-1) -1 = 0.
Offensichtlich ist dafür 1 eine Lösung.
Grüße,
JPL
Vielen Dank für die Antwort. So nah kann die Lösung liegen…
Gruß,
tommy
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Auch Dir vielen Dank für die Mühe!
Gruß,
Tommy
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Hallo,
Offensichtlich ist dafür 1 eine Lösung.
Setzt man das in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ein, bekommt man (mit a = Wurzel(3))
x1 = (a + Wurzel(3 - 4a + 4))/2
x2 = (a - Wurzel(3 - 4a + 4))/2
Man könnte auf die Idee kommen, dass
3 - 4a + 4 = 3 - 2*2a + 2²
ist, was sich auch schreiben läßt als
(a-2)²
Woraus man die Wurzel ziehen kann:
x1 = (a + (a - 2))/2 = (a + a - 2)/2 = (2a-2)/2 = a-1
x2 = (a - (a - 2))/2 = (a - a + 2)/2 = 2/2 = 1
Damit haben wir deine offensichtliche Lösung ausgerechnet und gleich auch noch eine zweite Lösung, wo allerdings das Wurzel(3) noch drinsteckt. Das läßt sich ohne Taschenrechner aber auch rechnen (http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen).
LG
Jochen