Hallo an alle, ich hoffe es kann mir jemand helfen!
Ich soll die Nullstelle folgender Funktion berechnen:
f(x)=ln(2x)-sin(x).
Das ist soweit auch nicht das Problem. Ich löse die Aufgabe wie folgt:
Ich zeichne die beiden Teilfunktionen (ln(2x)und sin(x)) mittels Wertetabelle. Der Schnittpunkt
beider Funktionen ist die gesuchte Nullstelle. Also kann ich mein
Intervall festlegen in dem die Nullstelle liegen muss.
Als nächstes stelle ich die gegebene Funktion nach einem x um und
erhalte meine Iterationsvorschrift. Dann setze ich meinen Anfangs und
Endwert des Intervalls in die Iterationsvorschrift ein und überprüfe ob
die Funktionswerte (auf der y- Achse) innerhalb des Intervalls (auf der
x- Achse) liegen. Damit wäre Bedingung 1 erfüllt.
Als nächstes gilt es zu beweisen das die Ableitung kleiner 1 ist.
Ich mache also die erste Ableitung. Wenn ich nun meine beiden Intervallgrenzen einsetze und es kommt jeweils ein Ergebnis raus das kleiner 1 ist, ist noch nichts bewiesen. Es könnte ja durchaus sein, das sich im Intervall eine Extremstelle befindet, an der die Ableitung größer 1 ist. Also mache ich die 2. Ableitung um eine Extremstelle nachzuweisen bzw auszuschliesen. Aber woran kann ich erkennen ob es notwendig ist die 2. Ableitung zu machen??
Wenn die erste Ableitung monoton wachsend bzw fallend ist, ist die Obergrenze (bei wachsend)und die Untergrenze (bei fallend) das Maximum. Wenn diese Stelle kleiner 1 ist dann alle anderen Stellen im Intervall erst recht.
Aber woran erkenne ich ob die erte Ableitung monoton fällt oder steigt? Woher weiß ich, ob es notwendig ist die zweite Ableitung zu machen??
Danke schonmal
Gruß schrrauber