Nutzenfunktion maximieren, Ableitung richtig?

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich hab ein Problem und zwar geht es um folgende Nutzenfunktion:

U(x,z)=10* Wurzel(x) * (z^0,6)

Als Nebenbedingung hab ich

8x+12z=440

Der Nutzen soll maximiert werden.

Jetzt hatte ich mir erst überlegt, welche Variable zu ersetzen sinnvoll ist.
Egal welche ich ersetze,es wird nicht einfacher :wink:

ich hab mal nach x umgestellt
x=55+(3/2)z

Setze es dann in U ein
U(x,z)=10* Wurzel(55+(3/2)z) * (z^0,6)

Jetzt will ich natürlich den Hochpunkt ausrechnen…

Kann ich das so umstellen?

Wurzel(55+(3/2)z) * 10(z^0,6)

Jetzt hätte ich es mit der Produktregel versucht

=(3/2)/(2(55+(3/2)z))*10(z^0,6) + Wurzel(55+(3/2)z) * 6(z^0,6)

=(15(z^0,6))/(2(55+(3/2)z))* + Wurzel(55+(3/2)z) * 6(z^0,6)

Jetzt weiß ich aber nicht weiter… wie soll ich hier jetzt etwas ermitteln? Kann mir jemand einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar!


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MOD: Titelzeile archivtauglich gemacht.

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8 x + 12 z = 440 ergibt umgeformt schonmal 55 - 3/2 z.
Was genau umspannt die Wurzel (die ganze formel oder nur den ersten Teil?)

Ein Tipp: a^n * a^m = a^(n+m)

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U(x,z)=10* Wurzel(x) * (z^0,6)
8x+12z=440

ich hab mal nach x umgestellt
x=55+(3/2)z

Vorzeichenfehler, muss - sein
x=55-(3/2)z

Setze es dann in U ein
U(x,z)=10* Wurzel(55+(3/2)z) * (z^0,6)

es steht nur noch z in U, das x bleibt dann weg
U(z)=10* Wurzel(55-(3/2)z) * (z^0,6)

Kann ich das so umstellen?
Wurzel(55+(3/2)z) * 10(z^0,6)

Bei * darf man die Reihenfolge beliebig vertauschen, daher ja
U(z)=Wurzel(55-(3/2)z) * 10*(z^0,6)

Jetzt hätte ich es mit der Produktregel versucht
=(3/2)/(2(55+(3/2)z))*10(z^0,6) + Wurzel(55+(3/2)z) * 6(z^0,6)
=(15(z^0,6))/(2(55+(3/2)z))* + Wurzel(55+(3/2)z) * 6(z^0,6)

Regel richtig, Anwendung falsch

U’(z)=-(3/2)*(1/2)*1/Wurzel(55-(3/2)z) * 10*(z^0,6) + Wurzel(55-(3/2)z) * 6*(z^-0,4)

not.Bed. U’(z)=0
0=-(3/2)*(1/2)*1/Wurzel(55-(3/2)z) * 10*(z^0,6) + Wurzel(55-(3/2)z) * 6*(z^-0,4)
0=-(3/2)*(1/2) * 10*(z^0,6) + (55-(3/2)z) * 6*(z^-0,4)
0=-(15/2)(z^0,6) + (55-(3/2)z) * 6*(z^-0,4)
0=-(15/2)z + (55-(3/2)z) * 6
0=-7,5z + 330 - 9z
16,5z=330
z=20

hin Bed U’’(z) ungleich 0
2te Ableitung machen einsetzen gucken ob es ein HP ist
U-Koordinate errechnen
Antwortsatz schreiben

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Ich hab vergessen darauf hin zu weisen, dass bei der Ableitung der Wurzel die Kettenregel benutzt werden muss, falls Du Dich fragst wo das -(3/2) direkt hinter dem = her kommt.

Meine Anleitung am Ende ist unvollständig.
U’’(z) ermitteln
z einsetzen ob es ein HP ist hier folgt wahrscheinlich, dass es ein lokales Maximum ist.
U-Koordinaten bestimmen
U-Koordinaten der Ränder bestimmen(falls keine gegeben sind, Fernverhalten)
globales Maximum auswählen
fehlende Werte ausrechnen ( hier nur noch das x mit Hilfe der kleinen Formel )
Antwortsatz

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