Mir ist aufgefallen, dass es in der Physik sehr verbreitet ist, Oszillationen und Wellen mit komplexen Exponentialfunktionen, statt mit trigonometrischen Funktionen darzustellen. Das dies ohne weiteres möglich ist leuchtet mir sofort ein, schließlich ist der Realteil von exp(iwt) z.B. nix anderes als cos(wt). Ich frage mich nur, was diese Darstellung (mit e-fkt.) für Vorteile bringt, und warum man sie nutzt.
Wie du schon richtig gesagt hast, hängen die komplexe Exp Funktion und cos und sinus funktion eng zusammen.
Mit der E-Fkt. lässt sich einfach sehr gut rechnen… Es ist doch einfacher mit e^(i*phi) zu rechnen als mit (cos(phi)+i*sin(phi)), oder nicht?
Da hab ich dann allerdings wieder das Verständnisproblem, wozu der imaginärteil in diesem fall überhaupt gut ist.
Nehmen wir mal als Beispiel die harmonische Welle. Diese wird in der Regel entweder als A*exp(i*(kx-wt)) oder als A*cos(kx-wt) dargestellt. Allerdings gilt ja nicht exp(i*(kx-wt))=cos(kx-wt), sondern vielmehr Re(exp(i*(kx-wt)))=cos(kx-wt). Also ist der imaginärteil eigentlich doch etwas überschüsig, oder nicht?
Hallo,
Also ist der imaginärteil eigentlich doch etwas überschüsig, oder nicht?
wenn Du so willst, ist er das tatsächlich. Trotzdem gestalten sich viele Rechnungen, in denen irgendwelche sin- oder cos-Terme mit unterschiedlichen Phasenlagen miteinander verwurstet werden, viel einfacher, wenn man sie komplex durchführt, und den physikalisch relevanten Realteil erst später aus dem Ergebnis extrahiert. „Mehr“ heißt zwar oft auch „komplizierter“, aber erstaunlicherweise trifft manchmal auch das Gegenteil zu, und dafür ist das Rechnen mit komplexen Zahlen eins der schönsten Beispiele.
Wenn Du Lust hast, versuch Dich doch z. B. mal an einem Beweis der Identität
\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x
und zwar einmal reell und einmal komplex. In der Reell-Variante weißt Du nicht mal, wie Du anfangen sollst, dagegen ist die Komplex-Variante ein Kinderspiel:
\begin{eqnarray}
\cos 3x
&=& {\rm Re} (e^{i3x})
= {\rm Re} ((e^{ix})^3)
= {\rm Re} ((c + is)^3) \nonumber\
&=& {\rm Re} (c^3 + 3c^2is + 3ci^2s^2 + i^3s^3) \nonumber\
&=& c^3 - 3cs^2
= c^3 - 3c(1-c^2)
= c^3 - 3c + 3c^3
= 4 c^3 - 3 c \nonumber
Gruß
Martin