Bitte helft mir mal, da verlassen mich meine Mathe-Kenntnisse, und die sind schon über 20 Jahre alt
Aufgabe: Falte ein DIN-A4 Blatt an den Rändern gleichmässig hoch, so dass daraus ein „befüllbarer“ Behälter entsteht. Wie „hoch“ muss gefaltet werden, damit das verdammte Ding ein maximales Volumen erhält?
o.k., V=a*b*c
DINA4 (zur Vereinfachung) a=30, b=20
also wäre die Formel: (a-2c)*(b-2c)*c=V
wie zum Teufel, bekomme ich aber das Optimum?
(in Schritten ausrechnen kann ich das, dabei wird mein Ergebnis jedoch nur ein Näherungswert, niemals jedoch der exakte Wert)
Aufgabe: Falte ein DIN-A4 Blatt an den Rändern gleichmässig
hoch, so dass daraus ein „befüllbarer“ Behälter entsteht. Wie
„hoch“ muss gefaltet werden, damit das verdammte Ding ein
maximales Volumen erhält?
o.k., V=a*b*c
DINA4 (zur Vereinfachung) a=30, b=20
also wäre die Formel: (a-2c)*(b-2c)*c=V
Sieht gut aus
wie zum Teufel, bekomme ich aber das Optimum?
Je eine Gleichung aufstellen, in der nach einer der Variablen abgeleitet wird und diese Null setzen. Dann geeignet umformen:
V = a*b*c -> (a-2c)*(b-2c)*c =! max
1.a: (1-2c)*(b-2c)*c=0
2.b: (a-2c)*(1-2c)*c=0
3.c: (a-2)*(b-2)*1=0 -> a=b=2
Aufgabe: Falte ein DIN-A4 Blatt an den Rändern gleichmässig
hoch, so dass daraus ein „befüllbarer“ Behälter entsteht. Wie
„hoch“ muss gefaltet werden, damit das verdammte Ding ein
maximales Volumen erhält?
o.k., V=a*b*c
DINA4 (zur Vereinfachung) a=30, b=20
also wäre die Formel: (a-2c)*(b-2c)*c=V
Sieht gut aus
bis hierher stimme ich zu.
wie zum Teufel, bekomme ich aber das Optimum?
Je eine Gleichung aufstellen, in der nach einer der Variablen
abgeleitet wird und diese Null setzen. Dann geeignet umformen:
wesentlich einfacher! … diese formel ausrechnen und nach der einzigen variablen (c!) ableiten (a und b sind ja konstant) und dann die ableitung gleich 0 setzen.
also:
V = abc - 2ac^2 - 2bc^2 + 4c^3
V’ = ab - 4ac - 4bc + 12c^2 = 0
das ist eine quadratische gleichung in c. die lösen.
mit deinen näherungswerten für a und b wäre das:
V = 600 c - 100 c^2 + 4 c^3
wesentlich einfacher! … diese formel ausrechnen und nach der
einzigen variablen (c!) ableiten (a und b sind ja konstant)
und dann die ableitung gleich 0 setzen.
da wir in einem Mathematik-und-Physik-Brett sind, sollte man aber auch noch ein paar Worte darüber verlieren,
warum die so gefundene stationäre Stelle (V’=0) ein (lokales) Maximum (in einer Umgebung um die Stelle gibt es keinen größeren Wert von V) darstellt, und
warum es sich auch tatsächlich um das gesuchte globale Maximum handelt.
Beides lässt sich durch die Feststellung, dass V stetig differenzierbar ist, und eine Vorzeichenbetrachtung der Ableitung begründen.
Aufgabe: Falte ein DIN-A4 Blatt an den Rändern gleichmässig
hoch, so dass daraus ein „befüllbarer“ Behälter entsteht. Wie
„hoch“ muss gefaltet werden, damit das verdammte Ding ein
maximales Volumen erhält?
o.k., V=a*b*c
DINA4 (zur Vereinfachung) a=30, b=20
also wäre die Formel: (a-2c)*(b-2c)*c=V
Das Volumen ist eine Funktion der einen Variablen c. Ein notwendiges (nicht hinreichendes!) Kriterium fuer ein Maximum ist, dass die erste Ableitung gleich Null ist.
Das soll Null sein. Wir setzen also diesen Ausdruck gleich Null und erhalten eine quadratische Gleichung in c. Die Loesung ist
c± = (a+b±W)/6
mit W = Wurzel(a^2+b^2-ab). Das ± soll wirklich ein Doppelvorzeichen sein; die quadratische Gleichung hat naemlich zwei Loesungen. Wenn man Deine Zahlen (a=30, b=20) einsetzt, ist c+ = 12,74… und c- = 3.92…
Offenbar ist c- die richtige Loesung, da aus der Aufgabenstellung ja 0
machdem das Thema mathematisch ausführlich behandelt wurde, erlaube ich mir noch eine kleine Anmerkung: Es gibt kein optimales Volumen, sondern nur ein maximales. An dem minimalen dürfte eh niemand interessiert sein.
