Hallo zusammen!
Bevor ich zu meinem bisherigen Lösungsweg komme möchte ich vorab mal die Aufgabe skizzieren:
Approximiert werden soll das Integral
\textrm{Q}
\int_{-1}^{1}f(x)\omega(x)dx
mit der Quadraturformel:
\textrm{Q}^{(n)}[f] = \sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}f(x_{i})
und
\alpha_{i} = \int_{-1}^{1}\ell_{i}(x),\omega(x),dx
sowie
\omega(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}
und dem Skalarprodukt
(u, v)_{\omega},=,\int_{-1}^{1}u(x),v(x),\omega(x),dx
Die x_{i} sind die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms des Grades n + 1. Ausserdem sind die Tschebyscheffpolynome bis Grad n + 1 eine orthogonale Basis für die Polynome vom Grad n + 1 bezüglich dem oben erwähnten Skalarprodukt.
Zu zeigen ist jetzt, dass diese Formel die Ordnung 2n + 2 hat (dass für f vom Grad 2n + 1 die Approximation exakt ist).
Ab hier mein Lösungsweg:
Ordnung 2n + 2 bedeutet, dass die Formel für Polynome bis Grad 2n + 1 exact interpoliert. Ein Polynom des Grades 2n + 1 kann man aber auch schreiben:
p(x) = h(x) * q(x) + r(x)
mit h und r vom Grad n und q beliebig vom Grad n + 1.
Damit Ordnung 2n + 2 erfüllt ist muss gelten:
0,=,\int_{-1}^{1}p(x),\omega(x),dx,-,\sum_{j=0}^{n}\alpha_{j},p(x_{j}),\omega(x_{j}),
=,\int_{-1}^{1}h(x)q(x)\omega(x),dx,-,\sum_{j=0}^{n}\alpha_{j}h(x_{j})q(x_{j})\omega(x_{j})
+(\int_{-1}^{1}r(x)\omega(x)dx - \sum_{j=0}^{n}\alpha_{j}r(x_{j})\omega(x_{j}))
Der letzte Term fällt weg, denn r(x) ist vom Grad n und wird sicher exact interpoliert, da wir ja n + 1 Nullstellen haben. Damit ist der letzte Fehlerterm 0
\Rightarrow,0,=,\int_{-1}^{1}h(x)q(x)\omega(x)dx,-,\sum_{j=0}^{n}\alpha_{j}r(x_{j})\omega(x)
Die Summe können wir nun relativ einfach wegbekommen indem wir für q das Tschebyscheff-Polynom vom Grad n + 1 nehmen. Denn gemäss Aufgabenstellung sind die Stützstellen die Nullstellen von diesem Polynom. Bleibt übrig:
0,=,\int_{-1}^{1}h(x)T_{n+1}(x)\omega(x)dx
Man erkennt dabei unschwer, dass:
0,=,(h(x),T_{n+1}(x))_{\omega}
Aber wie ich diesen letzten Schritt jetzt noch zeigen kann kommt mir irgendwie nicht in den Sinn. Ich bin sicher, dass es wohl etwas mit der orthogonalen Basis zu tun haben muss, welche die Tschebyscheff-Polynome bis Tn+1 liefern, aber ich weiss nicht inwiefern.
Das einzige was ich mir vorstellen kann ist, dass ja h(x) vom Grad n ist. Erweitert man h(x) auf den Grad n + 1 so ist das nur identisch, wenn der Betrag in die Richtung dieses Basisvektors 0 ist. Konkret ist dieser Basisvektor ja in unserem Fall Tn+1 und somit müsste das Skalarprodukt 0 ergeben, sonst würde etwas mit dem Skalarprodukt nicht stimmen. Ist das legitim?
Besten Dank
Palandrion