Haben orthogonale Matrizen immer die 2-Condition = 1 ? Mein Professor bezweifelte
das heute. Ich bin der meinung, das ist so.
andersrum: sind Matrizen mit der 2-Condition = 1 immer Orthogonal?
Wenn nicht, was wäre beispielsweise eine Matrix, die die Condition 1 hat, aber
nicht orthogonal ist?
Haben orthogonale Matrizen immer die 2-Condition = 1 ?
Das kann man nur beantworten, wenn man weiß, was die „2-Condition“ sein soll.
Vielleicht erklärst Du das mal?
Gruß
Fritze
Hi,
Haben orthogonale Matrizen immer die 2-Condition = 1 ?
Das kann man nur beantworten, wenn man weiß, was die
„2-Condition“ sein soll.
Vielleicht erklärst Du das mal?
Der Kandidat meint sicherlich Kondition in der 2-Norm, nach Definition also cond_2(A)=||A||_2 * ||A^-1||_2
naja. ich meine die cond(A,2) von matlab. Ich habe geraten, dass die condition
auch so heisst, da es die 1-norm, die 2-norm und die inf-norm gibt.
reicht das als erklärung? 
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi,
naja. ich meine die cond(A,2) von matlab.
Das ist die Kondition in der 2-Norm, passt schon.
Ich habe geraten,
dass die condition
auch so heisst, da es die 1-norm, die 2-norm und die inf-norm
gibt.
Es gibt noch n Paar andere Normen.
Gruss
Paul
Hi,
Haben orthogonale Matrizen immer die 2-Condition = 1 ? Mein
Professor bezweifelte
das heute. Ich bin der meinung, das ist so.
Hm, dann wollen wir mal ueberlegen. Angenommen A ist einer reelle Matrix. Die Kondition in der 2-Norm ist ja definiert als norm(A,2)*norm(A^-1,2).
Jetzt ueberlegen wir uns, was die 2-Norm einer Matrix ist:
Nach Definition ist es sqrt(\lambda_max * A^H * A), wobei A^H fuer die adjungierte Matrix steht, die im reellen Fall A^T entspricht und A^T=A^-1 fuer orthogonale Matrizen. lambda_max steht fuer den maximalen Eigenwert, im Falle einer reellen Orth.Matrix also 1 oder -1. Also gilt schon mal norm(A,2)=sqrt(1 * A^-1 * A)=1 oder -1.
Jetzt ueberlegen wir uns die Norm von A^-1. Das duerfte sqrt((1/lambda_max) * A * A^1) sein also entweder 1 oder -1. Ausmultipliziert also auf jeden Fall cond(A,2)=norm(A,2)*norm(A^-1,2)=1.
Jetzt kannst Du Dir sinnvollerweise ueberlegen, ob es auch im Komplexen funktioniert, da gilt abweichend von dem Obigen, dass |\lambda_max|=1 und A^H=conj(A)^T, ob und inwieweit dass Auswirkungen hat: selbst ueberlegen, evtl. ist es hilfreich eine andere Art der Berechnung der 2-Norm (Spektralnorm) sich anzuschauen.
Gruss
Paul
ich bin kein mathematiker
habe ich deine antwort falsch verstanden, oder gehst du gar nicht auf die frage
ein, ob orth. Matrizen immer die Condition 1 haben und ob eine condition von 1
immer bedeutet, dass eine matrix orthogonal ist?
MOD: Überflüssiges Vollzitat gelöscht.
Tach,
ich bin kein mathematiker
habe ich deine antwort falsch verstanden, oder gehst du gar
nicht auf die frage
ein, ob orth. Matrizen immer die Condition 1 haben und ob eine
condition von 1
immer bedeutet, dass eine matrix orthogonal ist?
Also ich hab vorgerechnet, dass die Aussage Matrix ist orthogonal => cond(A,2)=1 fuer reelle Matrizen stimmt. Jetzt kannst Du, sofern Du Lust hast, die Definitionen hernehmen (naemlich Orthogonalmatrix, Inverse Matrix, Spektralnorm, Eigenwert, Adjungierte Matrix, Kondition, alles auf Wikipedia zu finden) und analog dazu Dir ueberlegen, wie es im Komplexen aussieht. Im Komplexen ist die adjungierte Matrix anders definiert (naemlich konjugiert transponiert statt einfach transponiert) und fuer die Eigenwerte der Orthogonalmatrix gilt eine etwas andere Aussage. Ansonsten ist der Weg voellig analog.
Fuer die Rueckrichtung muss man zeigen, dass es Matrizen gibt, fuer die gilt: norm(A,2)=1/(norm(A^-1,2)). Also im Reellen sqrt(\lambda_max * A^T * A)=(sqrt(\lambda_max^-1 * (A^-1))^T * A^-1)^-1. Mir faellt spontan keine Matrix ein, die nicht orthogonal ist und das erfuellt, nachgerechnet hab ich es noch nicht.
Gruss
Paul
Fuer die Rueckrichtung muss man zeigen, dass es Matrizen gibt,
fuer die gilt: norm(A,2)=1/(norm(A^-1,2)). Also im Reellen
sqrt(\lambda_max * A^T * A)=(sqrt(\lambda_max^-1 * (A^-1))^T *
A^-1)^-1. Mir faellt spontan keine Matrix ein, die nicht
orthogonal ist und das erfuellt, nachgerechnet hab ich es noch
nicht.Gruss
Paul
ich hatte gehofft, dass es vll. eine definition gibt. zum beispiel: alle matrizen
mit cond(A,2)=1 sind orthogonal, alle orthognalen matrizen haben cond(A,2)=1.
zum nachrechnen fehlt mir leider die zeit. zumal ich für sowas eine weile
bräuchte, um das überhaupt zu verstehen allein bei deinem lamda frage ich mich
schon, was das sein soll 
aber mit deiner antwort ist mir schon geholfen. vielen dank.
Hi,
ich hatte gehofft, dass es vll. eine definition gibt. zum
beispiel: alle matrizen
mit cond(A,2)=1 sind orthogonal, alle orthognalen matrizen
haben cond(A,2)=1.zum nachrechnen fehlt mir leider die zeit. zumal ich für sowas
eine weile
bräuchte, um das überhaupt zu verstehen
lamda frage ich mich
schon, was das sein soll
Das lambda ist halt ein Eigenwert (siehe Wikipedia z.B.). Orthogonale Matrizen haben Eigenwerte vom Betrag 1, was im reellen Fall eben bedeutet, dass lambda=1 oder -1 ist. Nun ist das Schoene daran halt, dass bei der inversen Matrix, deren Norm man ja braucht um die Kondition zu berechnen, die Eigenwerte die Form 1/lambda haben, was in dem Fall wiederum 1 und -1 bedeutet.
Gruss
Paul
Das lambda ist halt ein Eigenwert (siehe Wikipedia z.B.).
Orthogonale Matrizen haben Eigenwerte vom Betrag 1, was im
reellen Fall eben bedeutet, dass lambda=1 oder -1 ist. Nun ist
das Schoene daran halt, dass bei der inversen Matrix, deren
Norm man ja braucht um die Kondition zu berechnen, die
Eigenwerte die Form 1/lambda haben, was in dem Fall wiederum 1
und -1 bedeutet.Gruss
Paul
ich bin begeistert!
warum erzählst du mir das und nicht mein professor?
gute Nacht,
Sebo