Hallo,
Wie lautet für diese Matrix die Ergänzung, wenn
A= (1/√3, 1/√2, 1/√6; ?, -1/√2, ?; ?, 0, ?) gilt
Hallo!
A= (1/√3, 1/√2, 1/√6; ?, -1/√2, ?; ?, 0, ?) gilt
Ich nehme an, du meinst
A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\
a&-\frac{1}{\sqrt{2}}&c\
b&0&d\end{array}\right).
In einer orthogonalen Matrix müssen die Spalten orthogonal und normiert sein. Fangen wir mit der Orthogonalität an. Ich schreibe das Skalarprodukt einfach mit einem Punkt.
Es soll gelten:
0=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\a\b\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\-\frac{1}{\sqrt{2}}\0\end{array}\right)
=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot a
=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-a\right),
woraus Du sofort a=1/\sqrt{3} abliest.
Analog bekommst Du c=1/\sqrt{6}.
Bleiben b und d zu bestimmen. Dafür nutzen wir jetzt die Normiertheit, und dass ||x||=1 äquivalent ist zu ||x||²=1:
1=\left|\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\ \frac{1}{\sqrt{3}}\
b\end{array}\right)\right|^2
=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+b^2.
Hieraus entnimmt man sofort b=\pm1/\sqrt{3}.
Analog bestimmst Du d=\pm\sqrt{2/3}.
Aus der Orthogonalitätsbedingung für die erste und dritte Spalte bekommst Du dann noch, dass die Vorzeichen für b und d verschieden sein müssen, und sonach sind die beiden möglichen Lösungen:
A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\
\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\
\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}\right) \quad\mbox{oder}\quad
A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\
\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\
-\frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}\right).
Liebe Grüße
Immo