Orthogonale Matrizen

Wissenschaft Physik
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Hallo,

warum gilt bei orthogonalen Matrizen, dass die inverse Matrix zu A gerade A-transponiert ist? (Beweis wäre schön…)

das wars schon
Gruß Martin

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Hi

Gegenfrage: Wie definierst Du eine orthogonale Matrix? Meistens wird das nämlich mit der Eigenschaft gemacht, die Du bewiesen haben möchtest.

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Gegenfrage: Wie definierst Du eine orthogonale Matrix?
Meistens wird das nämlich mit der Eigenschaft gemacht, die Du
bewiesen haben möchtest.

Hallo,

also: Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten bzgl. des Standardskalarproduktes ein Orthonormalbasis bilden.

Gruß Martin

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Hallo,

also: Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten bzgl.
des Standardskalarproduktes ein Orthonormalbasis bilden.

In diesem Falle bilden die Zeilen der transponierten Matrix At eine Orthonormalbasis. Und wenn du dann AtA ausrechnest, stehen auf der Diagonalen die Skalarprodukte aus gleichen Basisvektoren, welche 1 ergeben und auf den Nichtdiagonalen stehen die Skalarprodukten aus unterschiedlichen Basisvektoren, welche 0 ergeben.
Du erhälst also die Einheitsmatrix und ergo ist At = A-1.

Allerdings wird in der Tat At = A-1 meistens direkt als Definition für orthogonale Matrizen benutzt.

Gruß
Oliver

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mist. da fragt mal wer nach meinem lieblingsgebiet und ich bin den ganzen tag lernen… allerdings hatte ich auch als defintion tA*A=A*tA=E. womit dann auch sofort trivial wäre, wieso det(A)=1.
mehr über orthogonale matrizen! :o)

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