Orthogonalität

Wissenschaft Physik
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Hallo!

In einer n x n- Matrix sind die Zeilenvektoren paarweise orthogonal. Die Elemente der Matrix sind € {+1;-1}. Folgt daraus, dass auch das System der Spaltenvektoren orthogonal ist?

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen, denn mit meinen Ketnissen über lineare Algebra komme ich nicht weiter.

MfG,

Falk

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Auch hallo.

Orthogonal bedeutet, dass die Summe der Vektorkomponenten in Zeichen = 0 ergibt.

In einer n x n- Matrix sind die Zeilenvektoren paarweise
orthogonal. Die Elemente der Matrix sind € {+1;-1}. Folgt
daraus, dass auch das System der Spaltenvektoren orthogonal
ist?

Nicht zwangsweise, wie man sich an den zwei folgenden Beispielen klarmachen kann. Zumindest kann das für den Fall n=gerade Zahl gelten

-1 -1
+1 -1 -\> (-1)\*(-1) + (+1)\*(-1) = 0 in beiden Fällen orthogonal

+1 +1 +1
-1 +1 ..
.. .. .. -\> 1+1 + (-1)\*1 + .. \* .. !=0 sowie 1\*(-1) + 1\*1 + 1\*.. !=0 In beiden Fällen ist keine paarweise Orthogonalität gegeben

Aber Entschuldigung für den Fall, dass jemand einen strengen mathematischen Beweis vermissen sollte. Leider gaben meine Quellen ausser der Definition nichts Besseres her :wink:

HTH
mfg M.L.
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Hallo Markus,

danke für deine bisherige Bemühung. Daraus, dass die Spaltenvektoren paarweise orthogonal sind ergibt sich, dass n gerade ist, denn für ungerade n kann das Skalarprodukt nicht 0 werden, weil es dazu gleichviele Übereinstimmungen und Abweichungen geben muss.

Ich bin nach wie vor auf der Suche nach einen mathematischen Beweis. Meine Idee ist:

Voraussetzung:

  1. Wenn das System der Spaltenvektoren orthonormal ist, dann ist die Matrix orthogonal.
  2. Die Systeme der Zeilen und Spaltenvektoren bilden genau dann ein Orthonormalsysteme, wenn die Matrix A orthonormal ist.

Beweisskizze:
Das System der Spaltenvektoren ist orthogonal. Ich zeige, dass es orthogonalbleibt, wenn man Wurzel(n) ausklammert. In diesem Fall handelt es sich um ein Orthonormalsystem.
(1)–> Matrix ist orthogonal
(2)–> Das System der Zeilenvektoren ist orthonormal

Ist der Beweis auf diese Weise möglich?

MfG,

Falk

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Hallo Falk,

eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, falls AA’ = I_n (die nxn-Einheitsmatrix), was bei dir der Fall ist. Daraus folgt sofort:

A’ = A ^(-1) (die transponierte Matrix ist gleich der Inversen)
und daraus
A’A = I_n (wegen A^(-1)A = I_n)

und somit die Behauptung.

Gruß
Katharina

Mehr Infos findest du in dem Buch „Lineare Modelle“ von Prof. Helge Toutenburg, Anhang „Matrixtheorie“.

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