Ortsvektoren auf einer Geraden

[Brin]

Hallo Leute,

tut mir Leid, dass ich wieder mit so Kinderaufgaben ankomme hehe aber ich krieg die Krise wobei das eigentlich voll easy sein sollte bzw. easy ist.

Wir machen gerade Ortsvektoren und Skalarprodukte in der Vorlesung, verpasst habe ich keine Stunde aber mitbekommen habe ich Leider nicht viel.

Könnte mir da jemand vllt weiterhelfen?

Aufgabenstellung:

Gegeben seien die Punkte

A=(3, 0, 4), B=(1, 1, 1), C=(-1, 2, -2)

Liegen die Punkte auf einer Geraden?

Das wäre ja jetzt 3-Dimensional, richtig? Weil wir ja 3 Punkte haben…
trotzdem weiß ich nicht wie ich vorgehen muss.
Ein paar tipps wären super. Habe auch das Mathematik Papula Buch, werde aber da auch nicht viel schlauer, weil ich das nicht genau zuordnen kann. Sobald ich eine Aufgabe gerechnet habe, schaff ich den Rest dann meistens alleine, weil ich das schnell raffe aber mir fehlt der Schwung dahin

[Nico_17312e]

Hallo,

dafür sieht man sich die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten an:
AB = B - A = (-2, 1, -3)
AC = C - A = (-4, 2, -6)
Die drei Punkte liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die Verbindungsvektoren parallel sind. Und das ist genau dann der Fall, wenn sie linear abhängig sind.
Wenn du dir die beiden Vektoren genauer ansiehst, erkennst du, dass AC gerade das Doppelte von AB ist. Also sind sie linear abhängig, somit parallel, und damit liegen die Punkte auf einer Geraden.

Nico

[Brin]

Hey Nico,

zunächst danke dir vielmals für die ausführliche und klare Antwort!
wenn ich kurz noch was Fragen darf…

dafür sieht man sich die Verbindungsvektoren zwischen den
Punkten an:
AB = B - A = (-2, 1, -3)
AC = C - A = (-4, 2, -6)

Also für die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten bei 3D muss ich immer Punkt A von B und C abziehen?!

Die drei Punkte liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die
Verbindungsvektoren parallel sind. Und das ist genau dann der
Fall, wenn sie linear abhängig sind.

Parallel ist also rechnerisch gesehen, immer doppelt so groß oder klein sprich - oder +?!
wie kann ich mir linear abhängig zeichnerisch vorstellen?

ist das ungefähr so richtig:

Wenn du dir die beiden Vektoren genauer ansiehst, erkennst du,
dass AC gerade das Doppelte von AB ist. Also sind sie linear
abhängig, somit parallel, und damit liegen die Punkte auf
einer Geraden.

also langsam verstehe ICH das sogar hehe…Danke dir!

Noch eine Frage,

in der Aufgabe b) muss ich die Orstverktoren mit dem Skalarprodukt berechnen.
Das wäre dann dementsprechend: Multiplikation, Addition oder Subtraktion mit Vektoren. Richtig?

Ich weiß ja so ungefähr wie ich das dementsprechend Multipliziere etc., aber eine Frage hätte ich da noch.

(das r hier ist ein Vektor und hat das Pfeilzeichen.)

r(A)*r(B)

was hat das r für eine Bedeutung?

Danke Danke Danke!

[Nico_17312e]

Hallo,

dafür sieht man sich die Verbindungsvektoren zwischen den
Punkten an:
AB = B - A = (-2, 1, -3)
AC = C - A = (-4, 2, -6)

Also für die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten bei 3D
muss ich immer Punkt A von B und C abziehen?!

Nicht zwangsläufig. Die Differenz von zwei Ortsvektoren ist immer der Verbindungsvektor vom Subtrahenden zum Minuenden. Das gilt in beliebig vielen Dimensionen. Du musst nicht von A ausgehen. Genau so würden die Vektoren CA = A - C und CB = B - C gehen oder beliebig andere Kombinationen.

Die drei Punkte liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die
Verbindungsvektoren parallel sind. Und das ist genau dann der
Fall, wenn sie linear abhängig sind.

Parallel ist also rechnerisch gesehen, immer doppelt so groß
oder klein sprich - oder +?!
wie kann ich mir linear abhängig zeichnerisch vorstellen?

ist das ungefähr so richtig:

Ja, deine Beispielvektoren sind linear abhängig. Wenn ihr das noch nicht hattet, wird das sicher noch gezeigt, was das genau bedeutet. Es muss aber nicht unbedingt das Doppelte sein. Es reicht ein beliebiges Vielfaches. Wenn du dir mal einen Vektor vorstellst und den mit einer beliebigen Zahl multiplizierst, merkst du sicher schnell, dass der resultierende Vektor parallel zum ersten ist.
Lineare Abhängigkeit kann darüberhinaus auch zwischen mehreren Vektoren vorliegen.

in der Aufgabe b) muss ich die Orstverktoren mit dem
Skalarprodukt berechnen.
Das wäre dann dementsprechend: Multiplikation, Addition oder
Subtraktion mit Vektoren. Richtig?

Das kann ich so nicht sagen. Dazu müsste man die genaue Aufgabe kennen. Abgesehen davon ist DIE Multiplikation von Vektoren nicht definiert. Da sollte man dann explizit Skalarmultiplikation sagen.

Ich weiß ja so ungefähr wie ich das dementsprechend
Multipliziere etc., aber eine Frage hätte ich da noch.

(das r hier ist ein Vektor und hat das Pfeilzeichen.)

r(A)*r(B)

was hat das r für eine Bedeutung?

Ich hab die Notation noch nicht gesehen. Aber kann es sein, dass mit A, B und C bei euch die Punkte im Koordinatensystem gemeint sind und mit r(A)… die jeweiligen Ortsvektoren dazu?

Nico

[Brin]

Hallo,

dafür sieht man sich die Verbindungsvektoren zwischen den
Punkten an:
AB = B - A = (-2, 1, -3)
AC = C - A = (-4, 2, -6)

Also für die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten bei 3D
muss ich immer Punkt A von B und C abziehen?!

Nicht zwangsläufig. Die Differenz von zwei Ortsvektoren ist
immer der Verbindungsvektor vom Subtrahenden zum Minuenden.
Das gilt in beliebig vielen Dimensionen. Du musst nicht von A
ausgehen. Genau so würden die Vektoren CA = A - C und CB = B -
C gehen oder beliebig andere Kombinationen.

Ok, also muss ich einen Punkt nehmen und dann die zwei anderen Punkten jeweils subtrahieren um festzustellen ob die Parallel zu einander sind oder nicht…

ist das ungefähr so richtig:

Ja, deine Beispielvektoren sind linear abhängig. Wenn ihr das
noch nicht hattet, wird das sicher noch gezeigt, was das genau
bedeutet.

Wir haben sehr schnell und sehr viel Stoff gehabt und genau da ist das Problem, es wird davon ausgegangen das man das vorher schon einigermaßen hatte…falls nicht sagte der Duzent: „dann müsst ihr das Zuhause selber lernen“

Es muss aber nicht unbedingt das Doppelte sein. Es
reicht ein beliebiges Vielfaches. Wenn du dir mal einen Vektor
vorstellst und den mit einer beliebigen Zahl multiplizierst,
merkst du sicher schnell, dass der resultierende Vektor
parallel zum ersten ist.
Lineare Abhängigkeit kann darüberhinaus auch zwischen mehreren
Vektoren vorliegen.

in der Aufgabe b) muss ich die Orstverktoren mit dem
Skalarprodukt berechnen.
Das wäre dann dementsprechend: Multiplikation, Addition oder
Subtraktion mit Vektoren. Richtig?

Das kann ich so nicht sagen. Dazu müsste man die genaue
Aufgabe kennen. Abgesehen davon ist DIE Multiplikation von
Vektoren nicht definiert. Da sollte man dann explizit
Skalarmultiplikation sagen.

Ich weiß ja so ungefähr wie ich das dementsprechend
Multipliziere etc., aber eine Frage hätte ich da noch.

(das r hier ist ein Vektor und hat das Pfeilzeichen.)

r(A)*r(B)

was hat das r für eine Bedeutung?

Ich hab die Notation noch nicht gesehen. Aber kann es sein,
dass mit A, B und C bei euch die Punkte im Koordinatensystem
gemeint sind und mit r(A)… die jeweiligen Ortsvektoren dazu?

also die Aufgabenstellung lautet:

Berechnen sie mit den zugehörigen Ortsvektoren die Skalarprodukte:
(i) r(A)*r(B)
(ii) (r(A)-3r(B))*(4r©)
(iii) (r(A)+r(B))*(r(A)-r©)

Mein Gedanke bzw. Ansatz:

für (i) r(3,0,4)
für (ii) müsste ich dann 4C mal A nehmen und C mal -3B nehmen?
dementsprechend würde folgendes rauskommen:
(-12+12)=( 0 )
( 0 -24)=(-24)
(-32+24)=(-8 )

ist das ungefähr so richtig?

also mehr ist da auch nicht gegeben. Also aus dem Script von der Vorlesung werde ich nicht schlau, weil für mich das alles ganz neu ist und wir in der Vorlesung nur kurz gefasst durchgehen…
ich hoffe das ich nicht zuviel verlange…

[Nico_17312e]

Ok, also nochmal kurz zur linearen Abhängigkeit.
Vektoren v1, v2, … vn sind linear abhängig, wenn es Koeffizienten k1 … kn gibt, sodass:
k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn = 0
Im Falle von zwei Vektoren ergibt das:
k1 v1 + k2 v2 = 0
k1 v1 = -k2 v2
-(k1 / k2) v1 = v2
Da ja k1 und k2 beliebige (in unserem Fall reelle) Zahlen sind, können wir die auch zusammenfassen zu k. Die einzelnen interessieren uns sowieso nicht:
k v1 = v2
Also sind zwei Vektoren linear abhängig, wenn einer ein beliebiges Vielfaches des anderen ist. Sie sind dann parallel.
Wenn drei Vektoren linear abhängig sind, liegen sie in einer Ebene:
k1 v1 + k2 v2 = k3
Somit gilt:
2 Vektoren über R1 (also eindimensionale) sind immer linear abhängig, weil sie immer parallel sein müssen.
3 Vektoren über R2 (also zweidimensional) sind immer linear abhängig, weil der komplette R2 eine Ebene ist.
…
Was das Ganze eigentlich interessant macht, ist, dass bei linear abhängigen Vektoren immer ein Vektor durch Linearkombination (also Summe beliebiger Vielfache) der anderen darstellbar ist. So kann man dann Vektorräume durch einige wenige Vektoren (die Basis) komplett beschreiben.

Berechnen sie mit den zugehörigen Ortsvektoren die
Skalarprodukte:
(i) r(A)*r(B)
(ii) (r(A)-3r(B))*(4r©)
(iii) (r(A)+r(B))*(r(A)-r©)

Mein Gedanke bzw. Ansatz:

für (i) r(3,0,4)

Ich nehme an, das soll das Skalarprodukt sein. Du hast die Vektoren aber komponentenweise multipliziert. Beim Skalarprodukt kommt immer ein Skalar raus. In diesem Fall:
3 * 1 + 0 * 1 + 4 * 1 = 7

(ii) (r(A)-3r(B))*(4r©)
für (ii) müsste ich dann 4C mal A nehmen und C mal -3B
nehmen?
dementsprechend würde folgendes rauskommen:
(-12+12)=( 0 )
( 0 -24)=(-24)
(-32+24)=(-8 )

Ich bin mir nicht sicher, was du gemacht hast. Aber so sollte es wohl gemeint sein:
(r(A)-3r(B))*(4r©)
= ((3, 0, 4) - 3 * (1, 1, 1)) * 4 * (-1, 2, -2)
= ((3, 0, 4) - (3, 3, 3)) * 4 * (-1, 2, -2)
= (0, -3, 1) * 4 * (-1, 2, -2)
= (0, -12, 4) * (-1, 2, -2)
= 0 * (-1) + (-12) * 2 + 4 * (-2)
= -32
Du hast da ja ähnliche Zahlen stehen. Also kann auch sein, dass ich irgendwo ein Minus vergessen habe…

Nico