P-adische Zahlen

Wissenschaft Mathematik
#1

Schönen guten Abend,

ich versuche grade, die Zifferndarstellung bei p-adischen Zahlen zu verstehen. Leider bin ich noch nicht ganz dahinter gekommen.

Auf Wiki steht ein Beispiel (http://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl):

35 ;=; 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 ;=; 100011_2

Das ist klar: Jede ganze Zahl kann ich zur Basis p schreiben.

Aber wie sieht das jetzt z.B. bei -1 mod 3 aus?
In meinem Skript hab ich gefunden:

-1 ;=; 2 + 2\cdot 3^1 + 2\cdot 3^2 + 2\cdot 3^3 + 2\dots ;=; \dots22222_3

Versteh ich des richtig mit:

-1 ;=; 2 (mod 3)
-1 ;=; 2 + 2 \cdot 3 (mod 9)
-1 ;=; 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 (mod 27)

usw.?
Nur wie würde ich durch Rechnung darauf kommen?
Oder wie siehts mit Brüchen aus? Wie kann ich diese p-adisch entwickeln?

Gruß René

#2

Hallo,

Brüche p-adisch zu entwickeln funktioniert analog zu ganzen Zahlen, nur dass die Exponenten negativ werden. z.B.:

0.125 = 0 * 2^0 + 0 * 2^{-1} + 0* 2^{-2} + 1* 2^{-3} = 0.001_2

Im Grunde läuft es darauf hinaus, dass Du eine Zahl nicht entwickelst über

x = \sum_{0}^{\infty} a_i y_i

sondern über

x = \sum_{-m}^{\infty} a_i y_i

Zur Frage mit dem -1 = 2(mod 3) kann ich Dir leider nicht richtig weiterhelfen. Ich veranschauliche es mir so, dass ich, wenn ich nur die Zahlen 0, 1 und 2 zur Verfügung habe (periodisch, auf einem Zahlenstrahl), ich bei der 2 rauskomme, wenn ich von der Null nach links gehe. Ist vielleicht falsch oder zu stark vereinfacht, aber mir hilfts :wink:

Viele Grüsse
d.

#3

Hey d.,

danke für deine Antwort. Des mit den negativen Exponenten hab ich kurzzeitig verdrängt :wink:

Aber ich finde, dass die Entwicklung nur geht, wenn der Bruch gewisse Vorraussetzungen erfüllt. Bei deinem Beispiel hast du dir 8 als 2er-Potenz ausgesucht und nach der Primzahl 2 entwickelt - das geht ja noch gut.
Aber wenn ich mir jetzt -1/2 darstellen lassen will durch die Primzahl 3 hab ich keine Ahnung wie ich da vorgehen soll. Gelesen hab ich:

-1 ;=; 2 + 2\cdot 3^1 + 2\cdot 3^2 + 2\cdot 3^3 + 2\dots ;=; \dots22222_3

\Rightarrow \frac{-1}{2} ;=; 1 + 1\cdot 3^1 + 1\cdot 3^2 + 1\cdot 3^3 + 1\dots ;=; \dots11111_3

Woraus ich aber wieder schließen würde, dass ich zuerst die ganzen Zahlen entwickeln muss und dann durch den Nenner teilen, um die Entwicklung eines Bruches zu bekommen.
Allerdings wirft sich dann wieder die Frage auf, was passiert mit Brüchen wie 2/3 mod 5 dargestellt?

Fragen über Fragen :smile: Danke dir aber nochmals für deine Antwort
Gruß René

#4

Hallo,

was Du da mit den negativen Zahlen machst, will mir nicht recht in den Sinn. Aber 2/3 quintal (5-adisch) darzustellen, ist gar kein Problem, Du musst nur schriftlich dividieren (wie wenn Du 2/3 dekadisch, also als Dezimalbruch, darstellen willst):

2 : 3 = 0,
0
----
20 3
14
----
 10 1
 3
----
 20 3...

=\> 2/3 = 0,31313131...

Aber dabei darfst Du natürlich nicht vergessen, dass Du quintal rechnest. Damit ist 20 die Zahl zehn, und zehn durch drei ist drei Rest 1. (Dreimal drei ist neun, in Ziffern 3*3=14 – Du rechnest immer noch quintal!)

Liebe Grüße
Immo

#5

Hey Immo,

also das hab ich jetzt nicht ganz verstanden :smile:

Aber vom Prinzip hab den Grundgedanken der p-adischen Zahlen verstanden. Die p-adischen Zahlen sind eine Vervollständigung der rationalen Zahlen. Als Vervollständigung müssen die rationalen Zahlen dort eingebettet sein - somit müssen sowohl Brüche als auch negative Zahlen dort beschrieben werden können.

Allerdings in deinem Beispiel stimmt irgendwas noch nicht (erste Ziffer):
Laut meinem Rechner ist:

\frac{2}{3} = \left( \dots ,1,3,1,3,1,3,1,4 \right) mod 5

Oder in der Potenzreihenentwicklung:

\frac{2}{3} = 4 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + \dots

Wie ich mir jetzt die Darstellung jetzt herleite:

1 = 1 mod 5

-1 = \left( \dots ,4,4,4 \right) mod 5

\frac{-1}{3} = \left( \dots ,1,3,1,3 \right) mod 5

\Rightarrow \frac{1}{3} = 1 + \frac{-1}{3} = \left( \dots ,3+0,1+0,3+1 \right) mod 5

Aber muss mir nochmal paar Gedanken zu dem Thema machen - ist ja doch recht interessant.

Gruß René