Hi,
dies ist der analoge Beweis für Wurzel(2) ist irrational.
Der Beweis, dass gilt:
2*a² = b² 2|b ist einfach,
2|b heißt: b ist gerade, also ungerade Zahl genommen und quadriert, man bekommt eine ungerade Zahl, also muß b gerade sein, damit ist aber der Widerspruch erreicht.
p soll eine Primzahl sein, dh. ich nehme eine Nichtprimzahl z.B. (t*u), und dann???
Ich seh´s einfach nicht.
Danke für einen Tipp.
Gruß Volker
Hallo,
Sorry, ich hab noch so ein wenig Schwierigkeiten Dein Problem zu verstehen. (ganze Sätze würden helfen) Aber vielleicht kriegen wir es ja hin.
dies ist der analoge Beweis für Wurzel(2) ist irrational.
Der Beweis, dass gilt:
2*a² = b² 2|b ist einfach,
jup, der ist tatsächlich trivial.
2|b heißt: b ist gerade, also ungerade Zahl genommen und
quadriert, man bekommt eine ungerade Zahl, also muß b gerade
sein, damit ist aber der Widerspruch erreicht.
???
2|b heißt b ist gerade.
Und wenn man eine ungerade Zahl quadriert, dann kommt eine ungerade Zahl raus. Klar soweit.
also muss b gerade sein?
War das nicht Dein Ausgangspunkt?
Widerspruch wozu?
p soll eine Primzahl sein,
Das p aus der Überschrift?
dh. ich nehme eine Nichtprimzahl
z.B. (t*u), und dann???
Ich seh´s einfach nicht.
Worauf willst Du hinaus?
Danke für einen Tipp.
Auch wenn mir Dein Problem nicht wirklich klar geworden ist, vermute ich einmal er hat mit dem häufig zu lesenden Beweis für Irrationalität von wurzel(2) zu tun. Deshalb schreibe ich jetzt einfach nochmal die wesentlichen Beweisgedanken auf. Vielleicht hilft das ja schon.
Der Beweis, dass wurzel(2) irrational ist, wird (jetzt) indirekt geführt. Angenommen wurzel(2) sei rational.
Dann existiert ein vollständig gekürzter Bruch p/q = wurzel(2).
Wir quadrieren die Gleichungsseiten und es folgt:
(P^2)/(q^2) = 2
Was gleichbedeutend ist, mit
p^2 = 2 * q^2
Wir erkennen, dass p^2 gerade ist.
Da aber das Quadrat einer ungeraden Zahl, immer ungerade ist, können wir schlussfolgern, dass p gerade ist.
D.h.
Es existiert eine natürliche Zahl m mit der Eigenschaft p = 2*m.
Wir setzen dies nun in die Gleichung p^2=2*q^2 ein und erhalten:
(2m)^2 = 2* q^2
Oder anders geschrieben
4 * m^2 = 2 * q^2
Wir teilen beide Seiten durch 2 und erhalten:
2 * m^2 = q^2
Folglich ist q^2 gerade und somit ist auch die Zahl q gerade.
D.h.
Es existiert eine natürliche Zahl n mit der Eigenschaft q = 2*n.
Fazit:
p = 2*m und q = 2*n
Es folgt:
Wurzel(2) = p/q = (2*m) / (2*q)
Also kann der Bruch p/q gekürzt werden. Er sollte aber vollständig gekürzt sein: Widerspruch.
NOCH EINS:
Jetzt mir gerade ein Licht aufgegangen, was Du gemeint haben könntest.
Du willst für eine beliebige Primzahl p zeigen, dass gilt:
p*r²=s² => p|s
Richtig?
Das ist einfach. Schau, es gilt natürlich:
p * r^2 = s^2 => p|(s^2)
Quasi per Definition.
Jetzt musst Du Dir nur noch die Primfaktorzerlegung von s anschauen.
Seien x_1, x_2, … , x_n die Primfaktoren von s,
d.h. x_1, x_2, … , x_n sind Primzahlen und
x_1*x_2*…*x_n = s
Dann gilt:
s^2 = (x_1)^2 * (x_2)^2 * … * (x_n)^2
Es ist also kein neuer Primfaktor dazu gekommen.
Wenn s^2 durch eine Primzahl p teilbar ist, dann trifft das folglich auch auf s zu.
Grüße,
Zwergenbrot
Hallo.
Die für den Beweis der Irrationalität von Wurzel§ wichtige Behauptung:
p*r²=s² => p|s
gilt nur wenn p eine Primzahl ist.
Beweis:
Primzahlzerlegung von s:
s = p1 * p2 * … * pk
s² = p1² * p2² * … * pk²
wenn p nun s² teilt und selbst prim ist, dann muss p eines dieser pk’s sein und dann teilt p auch s.
Ist andererseits p nicht prim, könnte p ja auch ein Produkt dieser pk’s sein, z.B.:
p = p1² * p2
Und wie man sieht, teilt p jetzt nur noch s², aber nicht mehr s.
Alles klar?
Gruß
Oliver
Danke
Hi,
das war der Gedankengang,der mir fehlte. Danke.
Meine Fragestellung war etwas kryptisch ausgefallen, muss ich zugeben.
Gruß Volker