Angenommen man habe 2 paralelle Strecken, die aber unterschiedlich lang sind. Zeichnet man nun von einem Punkt der längeren Geraden ein Lot trifft es vielleicht, aber nicht sicher,
einen Punkt der kürzeren Geraden. Man kann also nicht(!) jedem Punkt der längeren Geraden einen Punkt der kürzeren zuordnen. Schließen sie aber einen bestimmten Winkel ein, so ist das sehr wohl möglich!! Warum???
Die Aussage ist falsch:
(I)Man kann sehr wohl jedem Punkt der längeren Geraden einen Punkt der kürzeren zuordnen, nur muss es ja nicht immer durch ein Lot geschehen.
(II)Schließen die beiden Strecken einen Winkel ein, ist es auch nicht immer (mit einem Lot) möglich, einen anderen Punkt zuzuordnen.
Also was soll das?
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(I)Man kann sehr wohl jedem Punkt der längeren Geraden einen
Punkt der kürzeren zuordnen, nur muss es ja nicht immer durch
ein Lot geschehen.
Das hab ich mir auch schon gedacht. Aber ich kann mir einfach keine Funktionsvorschrift vorstellen. Angenommen man hätte eine Funktion f(x), die jedem Punkt der kleineren Strecke einen Punkt der größeren zuordnet. Nun hat die größere Strecke aber mehr Punkte als die kleinere(oder nicht?). Wenn man nun die Umkehrfunktion bildet, so liefert sie nur für bestimmte Punkte der großen Strecke wieder Punkte der kleinere Strecke. Also ist doch keine eindeutige Zuordnung möglich.
(I)Man kann sehr wohl jedem Punkt der längeren Geraden einen
Punkt der kürzeren zuordnen, nur muss es ja nicht immer durch
ein Lot geschehen.
Das hab ich mir auch schon gedacht. Aber ich kann mir einfach
keine Funktionsvorschrift vorstellen. Angenommen man hätte
eine Funktion f(x), die jedem Punkt der kleineren Strecke
einen Punkt der größeren zuordnet. Nun hat die größere Strecke
aber mehr Punkte als die kleinere(oder nicht?).
Nein. Beide Strecken haben unendlich viele Punkte.
Deshalb ist diese Überlegung hinfällig.
Wenn man nun
die Umkehrfunktion bildet, so liefert sie nur für bestimmte
Punkte der großen Strecke wieder Punkte der kleinere Strecke.
Also ist doch keine eindeutige Zuordnung möglich.
Bei der Funktionsvorschrift denke ich etwa an eine Stauchung. Beide Strecken haben gleichviel Punkte (nämlich unendlich viele), daher ist nicht nur eine eindeutige Abbildung, sondern sogar eine eineindeutige (bijektive) Abbildung möglich.
Das hab ich mir auch schon gedacht. Aber ich kann mir einfach
keine Funktionsvorschrift vorstellen. Angenommen man hätte
eine Funktion f(x), die jedem Punkt der kleineren Strecke
einen Punkt der größeren zuordnet. Nun hat die größere Strecke
aber mehr Punkte als die kleinere(oder nicht?). Wenn man nun
die Umkehrfunktion bildet, so liefert sie nur für bestimmte
Punkte der großen Strecke wieder Punkte der kleinere Strecke.
Also ist doch keine eindeutige Zuordnung möglich.
Nein. Beide Strecken haben unendlich viele Punkte.
Deshalb ist diese Überlegung hinfällig.
Auch wenn beide Strecken unendlich viele Punkte haben, so verstehe ich nicht warum beide gleich viele haben. Ich denke da an einen Vergleich mit der Zahlengeraden bzw. dem Zahlenstrahl.
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, aber doch gibt es doppelt so viele ganze Zahlen(0 ausgenommen).
Hi!
Seien A,a,B,b aus |R mit A**|b-a|, also ist [A,B] länger als [a,b].
Sei nun f:[A,B]->[0,1], x-> (x-A)/(B-A)
und g:[0,1]->[A,B], x-> A+x(B-A).
Dann ist g die Umkehrfunktion von f, beide sind bijektiv.
Nun kannst du z.B. bei g die großen durch kleine Buchstaben ersetzen und dann ist g(f(x)) eine bijektive abblidung von [A,B] nach [a,b].
Wegen dieser Funktion sind beide Strecken gleichmächtig und nebenbei kannst du jedem Punkt von [A,B] einen von [a,b] zuordnen.
Abzählbat heißen alle Mengen T, die gleichmächtig zu |N sind, es also eine Bijektion von |N nach T gibt.
So eine Funktion wirst zu für T als die ganzen Zahlen nicht finden, deswegen ist Z überbazählbar, hat aber NICHT doppelt soviele Zahlen wie |N, weil 2*oo nicht größer als oo ist.
Abzählbat heißen alle Mengen T, die gleichmächtig zu |N sind,
es also eine Bijektion von |N nach T gibt.
So eine Funktion wirst zu für T als die ganzen Zahlen nicht
finden, deswegen ist Z überbazählbar, hat aber NICHT doppelt
soviele Zahlen wie |N, weil 2*oo nicht größer als oo ist.
Sowohl die ganzen Zahlen, als auch die rationalen Zahlen sind abzählbar (mithin gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen). Der Beweis mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens ist wohlbekannt.
Gleichermassen kann man dann beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Das legt den Schluss nahe, dass die meisten Zahlen irrational sind. Das ist eine erstaunliche Tatsache, fallen einem ausser „pi“, „e“ und „Wurzel 2“ nicht viele irrationale Zahlen ein.
So eine Funktion wirst zu für T als die ganzen Zahlen nicht
finden, deswegen ist Z überbazählbar, hat aber NICHT doppelt
soviele Zahlen wie |N, weil 2*oo nicht größer als oo ist.
Hey, du hast dich doch so wacker gehalten bis hierher. War echt lustig mitzuverfolgen. Und jetzt sowas!! Z ist naemlich sehr wohl abzaehlbar, sogar Q und noch sogarer Q^n. Geh zur Strafe in die Ecke und konstruiere eine ueberabzaehlbare Menge:smile:
(Ich hoffe du verstehst Spass, sonst geh ich schon mal in Deckung…)
Hey, du hast dich doch so wacker gehalten bis hierher. War
echt lustig mitzuverfolgen. Und jetzt sowas!! Z ist naemlich
sehr wohl abzaehlbar, sogar Q und noch sogarer Q^n. Geh zur
Strafe in die Ecke und konstruiere eine ueberabzaehlbare
Menge:smile:
Dann list ja doch jemand meine Artikel…
Jaja, das kommt davon, wenn man jemaden nebenbei noch erklären muß, was es mit der stochastischen Dominanz 2. Grades auf sich hat…
Aber was ich von deinen beiden ersten Sätzen halten soll, weiß ich ja noch nicht so recht… *GGG*
Gruß und Dank für die Korrektur
Tyll
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, aber doch gibt es
doppelt so viele ganze Zahlen(0 ausgenommen).
Nein, so einfach ist das nicht. Beide Mengen sind gleichmächtig. Der Beweis ist denkbar einfach. Es genügt bekanntlich, eine Bijektion zwischen beiden Mengen anzugeben:
Sei f: N0 -> Z definiert durch
f(x) =
x/2 wenn x gerade oder 0
-(x+1)/2 wenn x ungerade
Schon haben wir eine umkehrbare Abbildung die die natürlichen auf die ganzen Zahlen abbildet.
