Hallo Mathe-Freaks!
Angenommen ich habe eine Parabel der Form
f(x): y = -Ax² + Bx
(konkret: A = 4/45; B = 8/3 - aber die allgemeine Lösung wäre mir fast lieber)
Ich suche eine Funktion g, die zu f an jeder Stelle den Abstand C hat und sozusagen parallel verläuft (konkret: C = 3). Außerdem gilt f(x)
Hi,
Mathematisch formuliert ist also eine Funktion g gesucht für die g(x)-f(x)=3 gilt. Jetzt steht die Lösung ja fast schon da. Man muss die Gleichung nur noch nach g(x) auflösen und für f(x) deine Parabelgleichung einsetzen. Dabei kommt heraus, dass die on dir gesuchte Funktion ebenfalls eine Parabel ist (weil f(x) eine ist) deren Scheitepunkt einfach um 3 Koordinateneinheiten in y-Richtung nach oben versetzt worden ist.
Gruss,
Timo
Hallo Timo!
Mathematisch formuliert ist also eine Funktion g gesucht für
die g(x)-f(x)=3 gilt. Jetzt steht die Lösung ja fast schon da.
Man muss die Gleichung nur noch nach g(x) auflösen und für
f(x) deine Parabelgleichung einsetzen. Dabei kommt heraus,
dass die on dir gesuchte Funktion ebenfalls eine Parabel ist
(weil f(x) eine ist) deren Scheitepunkt einfach um 3
Koordinateneinheiten in y-Richtung nach oben versetzt worden
ist.
Nein, so war es leider nicht gemeint. Das wäre in der Tat einfach. Ich suche eine Funktion, die jeweils einen orthogonalen Abstand von 3 zur Ursprungsfunktion hat. (Wenn man die Funktion nur um 3 nach oben verschiebt, ist diese Bedingung nur für den Scheitelpunkt erfüllt.)
Michael
Hallo Michael…
ich hab das ganze mal in LaTeX gemacht, da das erheblich einfacher geht, als das Forum hier 
…
http://sciencesoft.at/latex/latex.png?archive=414e96…
hoffe das genügt .
Falls du mit der Entparametrisierung nicht zurechtkommst, mach ichs meientwegen auch noch für dich…
Grüße, Tom
Falls du mit der Entparametrisierung nicht zurechtkommst, mach
ichs meientwegen auch noch für dich…
Wenn’s keine Umstände macht…
Michael
ok… in Gotttes Namen
hier ist die fertige Gleichung, für deine Kurve:
y=-A((x-B*C)/(1-2*A*C))^2+B((x-B*C)/(1-2*A*C))-C
hier bei sind A & B die beidne Parameter aus deiner obigen Gleichung, C ist der Abstand zwischen den Kurven.
(Rechenfehler nicht ausgeshclossen, dafür solltest du nochmal die Rechnung vielleicht durchgehen …)
alle Rec henschritte verstanden? ansonsten erklär ichs dir nochma Schirtt für Schritt …
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Timo!
Mathematisch formuliert ist also eine Funktion g gesucht für
die g(x)-f(x)=3 gilt. Jetzt steht die Lösung ja fast schon da.
Man muss die Gleichung nur noch nach g(x) auflösen und für
f(x) deine Parabelgleichung einsetzen. Dabei kommt heraus,
dass die on dir gesuchte Funktion ebenfalls eine Parabel ist
(weil f(x) eine ist) deren Scheitepunkt einfach um 3
Koordinateneinheiten in y-Richtung nach oben versetzt worden
ist.
Hallo Michael
So wie ich das verstanden habe, brauchst du eine zweite Parabel mit dem gleichen Brennpunkt, aber die Leitlinie um 3 verschoben. Die Gleichung einer Parabel (deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt und deren Symmetrieachse mit der x-Achse zusammenfällt) ist x^2=2py. p sei der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Nach der Umformung solltest du auf den Öffnungsfaktor a der Parabel und schliesslich auf den y-Achsenabschnitt kommen. So wie ich das in Erinnerung habe, ist der Öffnungfaktor a=1/(2p) (gilt für die Scheitelgleichung). Ich bin mir aber nicht ganz sicher. Eine Skizze ist empfehlenswert.
Viel Erfolg und Gruss.
Hallo Michael,
Angenommen ich habe eine Parabel der Form
f(x): y = -Ax² + Bx
Ich suche eine Funktion g, die zu f an jeder Stelle den
Abstand C hat und sozusagen parallel verläuftMeine Fragen: Ist g ebenfalls eine Parabel? Wie lautet die
Funktionsgleichung von g?
Zur Klärung der Frage, ob g ebenfalls eine Parabel ist, reicht die Untersuchung von f(x) = x² mit Abstand C = 1. Da f durch die Punkte (0 | 0) und (1/2 | 1/4) geht, muss g durch die Punkte (0 | -1) und (1/2 + sqrt(2)/2 | 1/4 – sqrt(2)/2) verlaufen (auf Millimeterpapier aufmalen), denn dann ist die Abstandsbedingung für diese beiden Punkte erfüllt. Rechne also die Gleichung einer Parabel aus, die den Scheitelpunkt (0, -1) hat und durch (1/2 + sqrt(2)/2 | 1/4 – sqrt(2)/2) geht. Resultat: g(x) = k x² – 1 mit k = (1/4 – sqrt(2)/2 + 1)/(1/2 + sqrt(2)/2)². Tipp x² und k x² – 1 mit diesem k in einen Funktionenplotter ein und guck, ob es „passt“ [*]
aber irgendwie fände ich die mathematisch-korrekte Lösung eleganter).
Ich schätze, die ist ein verdammt harter Brocken.
Mit freundlichem Gruß
Martin
[*] Es passt nicht. Die „gleichorthogonalabständige“ Kurve zu einer Parabel ist keine Parabel.
Othogonaler Abstand?
Hallo,
interessantes Problem, das sieht man ihm gar nicht auf den ersten Blick an…
Was heißt denn „orthogonaler Abstand“ eigentlich genau? Heißt das, wenn ich in einem beliebigen Punkt der einen Kurve das Lot auf die Kurve fälle, dann trifft dieses Lot die andere Kurve auch genau senkrecht? Und dazu noch in immer gleichem Abstand? Das wären ziemlich harte Bedingungen für die gesuchte Funktion.
Olaf
Hallo Olaf!
Was heißt denn „orthogonaler Abstand“ eigentlich genau? Heißt
das, wenn ich in einem beliebigen Punkt der einen Kurve das
Lot auf die Kurve fälle, dann trifft dieses Lot die andere
Kurve auch genau senkrecht? Und dazu noch in immer gleichem
Abstand? Das wären ziemlich harte Bedingungen für die gesuchte
Funktion.
Da hast Du mich auf was gebracht…
Inzwischen habe ich das Bastelproblem geometrisch zufriedenstellend gelöst. Die mathematische Frage dahinter bleibt noch ungelöst (vor allem wenn ich mir die letzten Beiträge anschaue). Um unnötige Vorfaktoren zu eliminieren, können wir das Problem ein wenig vereinfachen:
Gegeben ist eine Funktion f(x)=x². Man Bilde schlage in jedem Punkt dieser Funktion das Lot und trage genau 1 ab. Gesucht ist die Funktionsgleichung von g(x), die alle Punkte einschließt.
Erste Frage:
Heißt
das, wenn ich in einem beliebigen Punkt der einen Kurve das
Lot auf die Kurve fälle, dann trifft dieses Lot die andere
Kurve auch genau senkrecht?
Ich würde behaupten: ja, denn bei einer differenzierbaren Funktion (und eine Parabel ist „sehr“ differenzierbar) verläuft die Kurve näherungsweise entlang der Tangente, d. h. die Lote in der Umgebung eines Punktes verlaufen annähernd parallel. Das bedeutet, dass g parallel zu f verläuft und das Lot von f folglich senkrecht auf g steht.
Zweite Frage (aus dem Posting von Zoran):
So wie ich das verstanden habe, brauchst du eine zweite Parabel mit dem gleichen Brennpunkt, aber die Leitlinie um 3 verschoben.
Ich hab’s ausprobiert: Die gewonnene Parabel ist nicht „parallel“ zu f.
Michael
Die mathematische Frage dahinter
bleibt noch ungelöst (vor allem wenn ich mir die letzten
Beiträge anschaue).
Hallo Michael…
Was soll denn das heißen ?
ich hab doch alles vorgerechnet… siehe mein Post von früher…
der Rechenweg ist folgender:
Parabel parametrisieren. Alle punkte finden, die einen senkrechten abstand von C zu deiner Kurve haben (das macht man über den negativen Kehrwert der Ableitung an einer bestimmten Stelle, was bei einer Parametrisierten Kurve heißt: Vektorkomponenten vertauschen und nen minuszeichen davor…). Diesen Abstand Addieren wir dann vektoriell auf unsere „ursprüngliche“ Kurve und erhalten eine neue Kurve, die Defintionsgemäß an jedem Punkt den Abstand von C zur OriginalKurve hat. Der genaue Rechenweg ist in meinem früheren Posts zu sehen . Plotte doch einfach mal die Funktion… du wirst sehen, es stimmt…
Grüße, Tom…
Hallo Michael
hmmm. verdammt sorry n stimmt doch nicht… hab mir den Bereich nicht genau angeguckt… (irh solltet doch meine Rechnung nachprüfen, hab ich extra noch dazugeschrieben…). Hab dne Fehler allerdings schon gefunden: Ich habe in meiner Rechnung C nicht normiert. Mit einem normiertem C kommt man auf die richtige Lösung… (die dann allerdings verdammt kompliziert wird, (laut meinem Computeralgebraprogramm ein polynom, daß aus ca. 40 Summanden bsteht 
). Ich poste die Allgemeine Lösung gerne, die speziell ist in diesem Flal jeoch warscheinlcih die angenehmere… Ansonsten belibt der Rechenweg gleich.
Grüße, Tom
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
also hier habt ihr jetzt die definitiv richtige Lösung:
sie besteht aus 2 riesigen Polynomen, die jeweils für die „linke“ und „rechte“ Seite (also links und rechts des Scheitels) gelten. Das Problem war anscheinend doch komplizierter als ich dachte ^^… aber zumindest mein Funktionsplotter zeigt mir jetzt das richtige Ergebnis an… Außerdem sthet fest, daß es keine Parabel ist. Aber es gibt eine eindeutige analytische Lösung…
so jetzte achtung:
y=(360 + 24*x - Sqrt[3]*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) +
(15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 +
902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x +
225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3)] -
24*Sqrt[-5283/16 - 80*x - (4*x^2)/3 + 2*(15 + x)^2 - (15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/
(192*(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 -
23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*
Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x + 225521433792*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)) -
(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 -
23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*
Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x + 225521433792*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)/192 -
(2601*Sqrt[3]*(-15 + x))/(4*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) +
(15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3)])])/18 -
(360 + 24*x - Sqrt[3]*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) +
(15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 +
902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x +
225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3)] -
24*Sqrt[-5283/16 - 80*x - (4*x^2)/3 + 2*(15 + x)^2 - (15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/
(192*(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 -
23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*
(4434619325049 - 1507325189760*x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 +
902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)) -
(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 -
23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*
Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x + 225521433792*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)/192 -
(2601*Sqrt[3]*(-15 + x))/(4*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) +
(15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*
x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3)])])^2/25920 +
3/
Sqrt[
1 + (8/3 + (-360 - 24*x + Sqrt[3]*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) +
(15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*
x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3)] + 24*Sqrt[-5283/16 - 80*x - (4*x^2)/3 +
2*(15 + x)^2 - (15849 - 1920*x + 64*x^2)^2/(192*(-1567791365760*x + 227536972992*
x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*
(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*
x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)) - (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*
x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*
x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)/192 - (2601*Sqrt[3]*(-15 + x))/
(4*Sqrt[192*(15 + x)^2 - 2*(15849 + 3840*x + 64*x^2) + (15849 - 1920*x +
64*x^2)^2/(-1567791365760*x + 227536972992*x^2 - 18763038720*x^3 +
902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 + 81*(60347106729 +
640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 - 1507325189760*x +
225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 +
262144*x^6)]))^(1/3) + (-1567791365760*x + 227536972992*x^2 -
18763038720*x^3 + 902541312*x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6 +
81*(60347106729 + 640*Sqrt[3]*Sqrt[(-15 + x)^2*(4434619325049 -
1507325189760*x + 225521433792*x^2 - 18763038720*x^3 + 902541312*
x^4 - 23592960*x^5 + 262144*x^6)]))^(1/3)])])/270)^2]
ist das nicht schön ? wär spass hat, kanns mal plotten…
Grüße, Tom
also hier habt ihr jetzt die definitiv richtige Lösung:
…
Moin,
sehr schön, genau diese Lösung ist mir ja auch gleich spontan eingefallen…
Also wie ne Parabel sieht das in der Tat nicht aus, allerdings auch nicht wie was parabelähnliches glattes.
Ich rechne jetzt auch noch mal dran rum. Aber ich vermute mal - entweder es gibt eine Parabel, die die Bedingungen erfüllt, oder es gibt keine analytische Lösung, auch nicht so ein Polynomungetüm.
Bis später.
Olaf
So, jetzt führe ich auch Selbstgespräche…
Also es gibt definitiv keine Parabel, die diese Eigenschaften hat. Eigentlich hat es ja Martin gestern auch schon gezeigt.
Und an die Lösung von Tom glaube ich nicht. Zumindest ist es keine analytische Lösung, sondern eine im Rahmen der numerischen Genauigkeit bestmögliche Anpassung an die gesuchte Kurve.
Olaf
Hallo Tom,
Außerdem sthet fest, daß es keine Parabel ist.
lies mal mein gestriges Posting.
also hier habt ihr jetzt die definitiv richtige Lösung:
sie besteht aus 2 riesigen Polynomen,
auch wenn dieses Polynom mit eingesetzten Zahlenwerten wirklich umwerfend imposant ist, wäre es doch viel interessanter, mal zu sehen, was sich für einen stark vereinfachten Fall ergibt. Würdest Du für mich „y(x) = x²“ mit Deinem Programm ausrechnen lassen, für beliebiges C?
Die gleichorthogonalabständige Kurve zu y(x) = x² ist in parametrisierter Form gegeben durch
x(t) = (1 + 2 C/sqrt(4 t² + 1)) t
y(t) = t² – C/sqrt(4 t² + 1)
Mein Versuch, die x-Gleichung zum Zweck der Entparametrisierung nach t aufzulösen, hat auf ein nicht besonders einfaches Polynom vom Grad 4 mit dem gesuchten t als dessen Nullstelle geführt.
Danke im Voraus.
Mit freundlichem Gruß
Martin
hallo Olaf…
bist du denn mit meinem Rechenweg einverstanden?
–> Parabel parametrisieren. Alle punkte finden, die einen senkrechten abstand von C zu deiner Kurve haben (das macht man über den negativen Kehrwert der Ableitung an einer bestimmten Stelle, was bei einer Parametrisierten Kurve heißt: Vektorkomponenten vertauschen und nen minuszeichen vor eine komponente…). Diesen Abstand normieren wir, Addieren wir dann vektoriell auf unsere „ursprüngliche“ Kurve und erhalten eine neue Kurve, die Defintionsgemäß an jedem Punkt den Abstand von C zur OriginalKurve hat.
genau das habe ich nämilch mit meinem computeralgebraprogramm gemacht… und das sagt mir, die Lösung wär analytisch…
Grüße, Tom (der es schön fände, wenn sich jemand die mühe macht sich seinen Rechenweg anzugucken, bevor er sagt es ist falsch… (war nich auf dich bezogen olaf )
Hallo Tom,
bist du denn mit meinem Rechenweg einverstanden?
jaja, bis zu der parametrisierten Lösung wird es schon stimmen. Ich habe mal versucht, es für die einfache Parabel y=x2 von Hand zu rechnen (wahrscheinlich wie Martin), und es kommt eine Gleichung 4. Grades für t heraus. Und die hat glaube ich komplexe Lösungen… Aber ich probiere morgen noch weiter dran rum.
Ich habe es heute mal einem Mathematiker gezeigt (ich bin Physiker), und der meinte auch dass es ein sehr interessantes Problem ist.
Deine lange allgemeine Lösung mit den vielen Zahlen ist mir aber nicht geheuer. Ich kann mir nicht vorstellen, dass sich eine Funktion, die „von weitem“ so aussieht wie eine Parabel, sich mit so einem Formelungeheuer analytisch darstellen lässt. Die Funktion darf ja nur einen einzigen Extremwert haben.
Naja, „der Fall“ ist noch nicht abgeschlossen. Vielleicht sucht ja gerade jemand ein Promotionsthema…
Ciao.
Olaf
Zwischenstand
Hallo miteinander!
Ich verfolge die Diskussion nach wie vor mit großem Interesse. Erst einmal vielen Dank allen Beteiligten.
Als Zwischenergebnis können wir festhalten:
Es freut mich, dass von ein paar Leuten geäußert wurde, das Problem sei „interessant“ (Für einen Mathematiker ist „interessant“ ja ungefähr das Gegenteil von „trivial“ )
Ich bin mal ein paar Tage weg. Ich bin gespannt, was sich in der Zwischenzeit tut. Vielleicht passt Ihr ein bisschen auf, dass der Thread nicht ins Archiv abrutscht…
Eine schöne Zeit und frohes Schaffen! Michael
Noch’n Vorschlag
Hallo allerseits.
Ich hätte den folgenden Ansatz anzubieten. Damit erhalte ich zwar keine Funktionsgleichung, aber ich kann die gesuchte Kurve aus der gegebenen berechnen.
Gegeben sei die Funktion f und der Abstand d.
Zu jedem Punkt P=(x, f(x)) trage ich zuerst senkrecht eine Strecke der Länge d ab, und den so erhaltenen Punkt drehe ich gerade soweit um P, dass die Strecke zwischen P und dem gedrehten Punkt senkrecht auf der Tangente von F in P steht.
Der Drehwinkel ist der Arkustangens der Steigung, also atan(f’).
Dann erhalte ich als Bild zu jedem Punkt
P = ( x , f(x) )
den Punkt
P’ = ( x + d*cos(atan(f’(x))) , f(x) - d*sin(atan(f’(x))) ).
Die Auflösung nach y bleibt dem interessierten Leser zur Übung überlassen. Wenn ich das richtig sehe, ist das Ergebnis auch nicht immer eine Funktion. Wenn man bei einer Parabel d nur groß genug wählt, enthält die gesuchte Kurve eine Schleife.
Achso, stimmt’s überhaupt?
1. Abstand = d
Der Abstand zwischen P und P’ ergibt sich nach Pythagoras ( A steht als Abkürzung für atan(f’(x)) ):
wurzel( (x - x+d*cos(A))2 + (f(x) - f(x)+d*sin(A))2 )
= wurzel ( d2*cos2(A) + d2*sin2(A) )
= wurzel ( d2 * ( cos2(A) + sin2(A) ) )
= wurzel (d2)
2. Orthogonalität
Das Skalarprodukt von P-P’ und (1, f’(x)) muss Null ergeben.
Das Skalarprodukt ist
d*cos(atan(f’(x)))*f’(x) - d*sin(atan(f’(x)))*1
Wie man z.B. hier http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonom… nachlesen kann, ist
cos(atan(x))*x = sin(atan(x)),
das Skalarprodukt ist also tatsächlich Null.
q.e.d.
Gruß,
Ralf
