Parallelen/orthogonalen im hilbertraum

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

meinem Mathekurs soll ich das Verhalten von Parallelen und/oder Orthogonalen im Hilbertraum kurz erläutern. Der Kurs hat noch nie etwas über den Hilbertraum gehört. Es geht meinem Lehrer glaub ich darum, den Schülern zu zeigen, wie faszinierend Mathe sein kann:wink:
Hab versucht mich über den Hilbertraum kundig zu machen, verstehe bei der Definition (auf wissen.de oder wikipedia) aber nur jedes zweite Wort! :smile: Wisst ihr etwas über das Verhalten von Parallelen und Orthogonalen im Hilbertraum? Es geht wohl weniger um den Hilbertraum selbst, sondern um das charakteristische Verhalten von den oben genannten Geraden. Auch Antworten für Laien sind willkommen :smile:
Danke im Vorraus!

#2

Hi,
die Elemente des Hilbertraums sind Funktionen, soviel ich weiß.
enricoernesto

#3

die Elemente des Hilbertraums sind Funktionen, soviel ich
weiß.

Hallo,

was die Elemente eines Hilbertraums sind ist nicht festgelegt, da ein Hilbertraum ein Vektorraum ist, sind es einfach Vektoren. U.a. gibt es auch gewisse Funktionenräume die Hilberträume sind.
Was einen Hilbertraum - neben anderen Eigenschaften - auszeichnet, ist, dass er ein Skalarprodukt trägt, das bedeutet, man kann zwei Elemente dieses Raums miteinander multiplizieren, und das Ergebnis ist ein Skalar (eine Zahl).
So ein Skalarprodukt gibt es z.B. im Rn.

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+\ldots +a_nb_n

In Funktionenräumen kann man häufig über das Integral des Produktes zweier Funktionen ein Skalarprodukt definieren.

f\cdot g=\int f(x)g(x)\ dx

Im Rn stehen zwei Vektoren genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Das kann man auch auf Funktionenräume übertragen und sagt dann zwei Funktionen sind orthogonal wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
Ein Beispiel aus dem Bereich der Fourieranalysis.
fm(x)=sin(mx), gn(x)=cos(nx)
m und n sind Parameter die die Frequenzen von f und g beeinflussen.
Betrachten wir mal den Fall m=n=1.

\int\limits_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)\ dx=\ldots partielle\ Integration\ldots=0

f1 und g1 sind also orthogonal. Du kannst ja mal schauen, was für andere Werte von m und n rauskommt und auch ob z.B. f1 und f2 orthogonal zueinander sind.

Gruß

hendrik

#4

Hi,

welcher Mathe-Kurs, was ist das aktuelle Vorwissen, was soll unter Hilbertraum verstanden werden?

Der normale 3- oder endlichdimensionale euklidische Raum ist ein Hilbertraum. Da gibt es schon Erweiterungen zum Thema gegenüber der zweidimensionalen Ebene.

Dann gibt es den Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen, ist das schon ein zu schwerer Brocken?

Dann kann man komplexe Vektorräume betrachten, in denen sich, selbst endlichdimensional, wieder etwas zum Thema Parallelen/Orthogonalen ändert.

Und dann kommen die Funktionenräume, reell- wie komplexwertig, Verbindung von Folgen- und Funktionenraum durch Fourier-Reihen,…

Gruß, Lutz