Ich beschäftige mich gerade ein wenig mit diesem Stichwort und habe dazu bei Wikipedia folgendes Zitat gefunden (nicht-euklidische Geometrie):
„Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele. Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene schneiden einander also immer. Dies führt zu einer elliptischen Geometrie. Ein anschauliches Modell einer zweidimensionalen elliptischen Geometrie ist die Geometrie auf einer Kugelfläche. Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°, der Umfang eines Kreises beträgt weniger als 2πr, und die Fläche weniger als πr2. In der elliptischen Geometrie gelten jedoch die Anordnungsaxiome nicht mehr unverändert.“
Was ich daran nicht verstehe:
Ich kann selbstverständlich auf unserer ziemlich großen Kugelfläche Erde in Kapstadt (also weit im Süden) eine Eisenbahntrasse beginnen zu bauen und sie über tausende von Kilometern schnurgerade nordwärts verlegen, dabei werden sich die Geleise nie schneiden und sie verlaufen immer brav parallel. Und der Winkel zwischen Schwelle und Gleisen beträgt ebenfalls brave 90°. Und ließe es die Statur der Erde zu, könnte ich die Eisenbahngleise um die Erde herum verlegen und wäre am Ende wieder da, wo ich begonnen habe. Aber niemals hätte ich ein Problem damit, dass sich die Gleise gegenseitig schneiden könnten.
Was ist mein Denkfehler? Warum also sind die Gleise nicht parallel bzw. warum verlaufen sie in „nicht-euklidischer Denkweise“ nicht parallel?
Was ich daran nicht verstehe:
Ich kann selbstverständlich auf unserer ziemlich großen
Kugelfläche Erde in Kapstadt (also weit im Süden) eine
Eisenbahntrasse beginnen zu bauen und sie über tausende von
Kilometern schnurgerade nordwärts verlegen, dabei werden sich
die Geleise nie schneiden und sie verlaufen immer brav
parallel.
Falsch. Sie verlaufen innerhalb der Geometrie der Kugeloberflache nicht parallel.
ich habe nicht explizit eine Antwort auf deine Frage, aber als ich deinen Text gelesen habe, habe ich mich an den projektive Raum erinnert.
Dort gilt, dass sich parallele Geraden im Unendlichen schneiden - im so genannten Fernpunkt.
Aber niemals
hätte ich ein Problem damit, dass sich die Gleise gegenseitig
schneiden könnten.
Hmm sollte es da ähnlich sein wie im projektiven Raum, hättest du das Problem, dass du Gleise nicht unendlich lang verlegen kannst. Diesen Punkt also nie erreichen kannst…es aber nicht heißt, dass es ihn nicht gibt
Was ist mein Denkfehler? Warum also sind die Gleise nicht
parallel bzw. warum verlaufen sie in „nicht-euklidischer
Denkweise“ nicht parallel?
Ich denke mal, dass niemand gesagt hat, dass sie nicht parallel sind. Sie sind parallel…nur dass sie sich eben im Fernpunkt schneiden
Danke für jeden Tipp,
Mehr als ein Tipp wars leider nicht Bin mal gespannt, wer was schlaues dazu sagen kann
Ich kann selbstverständlich auf unserer ziemlich großen
Kugelfläche Erde in Kapstadt (also weit im Süden) eine
Eisenbahntrasse beginnen zu bauen und sie über tausende von
Kilometern schnurgerade nordwärts verlegen […]
Was ist mein Denkfehler?
Du kannst sie eben nicht beide schnurgerade nordwärts verlegen. Stell Dir vor, Du legst erst einmal eine der Schienen schnurgerade nordwärts, bis sie irgendwann am Nordpol ankommt. Jetzt legst Du die Schwellen und die andere Schiene - aber die geht nicht durch den Nordpol! Du bist also irgendwann vom Kurs abgewichen, um den Abstand zu halten.
Hättest Du beide Schienen schnurgerade nordwärts verlegt, müssten sie sich im Nordpol schneiden. Daraus folgt, dass die zweite Schiene eben nicht gerade ist, sondern sich vom Nordpol wegkrümmt. Also kann sie in der elliptischen Geometrie nicht als Gerade angesehen werden.
Bin mal gespannt, wer was schlaues dazu sagen kann