Hallo ihr Lieben,
ich hab hier eine kleine Tüftelaufgabe und komme nicht weiter damit, vielleicht könnt ihr mir helfen:
[Summe über n=0 bis oo] [n! / b(^n³)] x^n
ich soll den Konvergenzradius in Abhängigkeit von b>0 bestimmen.
Ich denke, am ehesten führt das Quotientenkriterium zum Ziel, aber irgendwie bekomme ich es nicht auf die Reihe 
Danke schon mal für eure Hilfe:smile:
Hallo ihr Lieben,
Hallo Aurigia!
[Summe über n=0 bis oo] [n! / b(^n³)] x^n
Also das hier
\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n!}{b^{n^3}}x^n
ich soll den Konvergenzradius in Abhängigkeit von b>0
bestimmen.
Ich denke, am ehesten führt das Quotientenkriterium zum Ziel,
aber irgendwie bekomme ich es nicht auf die Reihe
Und wo genau hakt es?
q(b,n)=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!x^{n+1}b^{n^3}}{b^{(n+1)^3}n!x^n}=\frac{(n+1)xb^{n^3}}{b^{n^3+3n^2+3n+1}}=\frac{(n+1)x}{b^{3n^2+3n+1}}
Jetzt Fallunterscheidung
0
**b>1\ \Rightarrow\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}q(b,n)=0\ \forall x
Für den Konvergenzradius in Abhängigkeit von b bedeutet das
\rho(b)=\begin{cases}0, & 01\end{cases}
Gruß
hendrik**
Hallo Hendrik,
danke schon mal für deine Hilfe:smile:
Das Einsetzen von a_n+1 hatte ich allein noch hinbekommen, dann komm ich aber nicht mehr weiter:frowning: Bei der Aufgabe wars wohl nur ein Leichtsinnsfehler, weil ich die Möglichkeiten zum Kürzen übersehen hab, aber ich hab einfach insgesamt ein Problem mit Konvergenzreihen- bin grad beim Üben schon wieder gestolpert- auch die Aufgabe schaut eigentlich nicht schwer aus (1-6x+x²-x^6+x^7), aber mir fehlt irgendwie immer der entscheidende Schritt:frowning: Ich kann x ausklammern und rumrechnen und einsetzen wie ich will:frowning:
Trotzdem nochmal vielen lieben Dank für deine Hilfe:smile:
aus (1-6x+x²-x^6+x^7), aber mir fehlt irgendwie immer der
entscheidende Schritt:frowning: Ich kann x ausklammern und rumrechnen
und einsetzen wie ich will:frowning:
Hi Aurigia,
wie meinst du das, dass du x ausklammern kannst?
1-6x+x²-x^6+x^7 ist auch keine Reihe, sondern ein ganz normales Polynom.
Da gibt es so was wie einen Konvergenzradius nicht.
Welche Reihe meinst du denn genau?
Gruß
hendrik
Ich dreh noch durch:frowning:
Hab mich schon gewundert, wie ich aus einem Polynom einen Konvergenzradius berechnen soll… Steht aber tatsächlich so da: Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen:
… c) 1-6x-x^6+x^7
Die wollen mich doch alle nur verwirren in dem Mathebuch:smiley:
Aber mal noch was anderes- ich hab die
[Summe über n=1 bis oo] [(n+1) / n] ^n^2 x^n
Wenn ich jetzt zuerst die Gleichung an sich umforme und verwende, dass lim für n–>oo (1+1/n)^n = e gilt; habe ich in der Gleichung noch stehen:
[Summe über n=1 bis oo] e² x^n
Geht das denn oder muss ich erst (was ich wesentlich komplizierter finde), lim [a_n+1 / a_n] setzen?
Hat sich quasi grad in Luft aufgelöst, mein letztes Problem- habe mich einfach mal nicht auf die Methode mit lim |a_n+1| / |a_n| versteift, sondern hab mit dem limsup von der n-ten Wurzel gerechnet…
Falls es jemanden interessiert-
1/r = lim(n–>oo)sup n-te Wurzel aus [(n+1)/n]^n^2 = limsup [(n+1)/n]^n = limsup [(n(1+1/n)) / n]^n = limsup [1+1/n]^n = e
Danke:smile:
(du hast mir meinen Tag gerettet, dafür vielen herzlichen Dank:smile: )