Parameteraufgabe, Wertemenge gesucht!

Wissenschaft Physik
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Hallo, entschuldige gleichmal dass ich so eine frage stelle, aber ich sitz schon den ganzen nachmittag an dieser aufgabe, und komm nicht dahinter:

f: -> y=(a^2-1)x^2+(2-2*a^2)x+2*a

das ist die aufgabe, nun muss die wertemenge alle y-werte gefunden werden, in abhängigkeit von a

soweit bin ich gekommen: Die umkehrfunktion bilden und die definitionsmenge ermitteln, welche dann die wertemenge von f ist

ich habe x und y vertauscht und bin hier:

(-1+a^2)*y^2 + (2-2a^2)*y

nun weiß ich nicht, wie ich das y auf eine seite bringen soll.

p.s.: der stoff ist eigentlich wiederholung der 11. klasse, deswegen kann darin eig. kein logarithmus oder eine ableitung drin vorkommen, wenn es aber nicht anders gehen kann, ist’s auch egal!

Wäre sehr dankbar für eine tipp!
Danke!

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Wäre sehr dankbar für eine tipp!

Tipp:
y=(a^2-1)x^2+(2-2*a^2)x+2*a
Es ist eine Quadratische Funktion, eine Parabelschar, die für a = +1 oder -1 zu einer Geraden wird.

Also muss man die Fälle a1 besondert behandeln.

Und die Umkehrfunktionen von Parabeln sind Wurzelfunktionen. Man muss sich da immer auf einen Ast der Parabel beschränken, wie man weiß. [Also ein Vorzeichen der Wurzel wählen.]

Danke!

MOD: Zita auf bezogenen Teil gekürzt.

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ja, genau, danke schonmal.
die vorhergehende aufgabe fragte genau danach, nämlich nach der monotonie. da es ohne ableiten zu lösen war, hatte ich genau das getan. nämlich den teil a der parabel ( ax^2+bx+c , nicht den parameter) 0 gesetzt, und genau das festgestellt.
was ich aber nicht kann, ist das umkehren, ich sitze hier nun schon ewig, und weiß nicht mehr weiter :frowning:

x = (-1+a^2)*y^2 + (2-2a^2)*y + 2a

wie kehrt man das um, bzw, wie löst man das auf y auf??

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ja, genau, danke schonmal.
die vorhergehende aufgabe fragte genau danach, nämlich nach
der monotonie. da es ohne ableiten zu lösen war, hatte ich
genau das getan. nämlich den teil a der parabel ( ax^2+bx+c ,
nicht den parameter) 0 gesetzt, und genau das festgestellt.
was ich aber nicht kann, ist das umkehren, ich sitze hier nun
schon ewig, und weiß nicht mehr weiter :frowning:

x = (-1+a^2)*y^2 + (2-2a^2)*y + 2a

Wie gesagt Fallunterscheidung. Ich nehme einmal den

Fall |a| = 1:

x = 2. Das ist keine Funktion. D.h. für |a| = 1 existiert keine Umkehrfunktion. (Die Funktion y = 2 hat keine Umkehrfunktion.)

Fall |a| > 1:

x = (a²-1)*y² - 2*(a²-1)*y + 2a

x = (a²-1)*[y² - 2*y + 2a/(a²-1)]

x = (a²-1)*[(y - 1)² - 1 + 2a/(a²-1)] // Stichw: Quadratische Ergänzung

x/(a²-1) = (y - 1)² - 1 + 2a/(a²-1)

x/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1) = (y - 1)²

+SQRT[x/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1)] = y - 1 für x + (a²-1) - 2a > 0

+SQRT[x/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1)] + 1 = y für x + (a²-1) - 2a > 0

y = 1 + SQRT[x/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1)] für x + (a²-1) - 2a > 0

x + (a²-1) - 2a > 0

x > 2a - (a²-1) = -(a²-2a +1 -1 -1) = 2 - (a-1)²

D.h.
x > 2 -(|a|-1)² für a > 1
x > 2 -(|a|+1)² für a

[y/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1)] = [x - 1]²

ist die bekannte Parabel

y* = x*²

im Koordinatensystem x*, y*, bei dem die x-Achse um 1 nach rechts geschoben ist und die y Achse um 2a - (a²-1) nach oben geschoben und dann um (a²-1) gestaucht oder gedehnt ist.

Vielleicht ist die Form zum Plotten einfacher:

[y - 2a + (a²-1)] = (a²-1)[x - 1]²

also y$ = (a²-1)*x$²

wie kehrt man das um, bzw, wie löst man das auf y auf??

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Fehlerteufel

x + (a²-1) - 2a > 0

x > 2a - (a²-1) = -(a²-2a +1 -1 -1) = 2 - (a-1)²

D.h.
x > 2 -(|a|-1)² für a > 1
x > 2 -(|a|+1)² für a 2 -(|a|-1)² für a > 1

x > 2 -(|a|+1)² für a

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Danke!!! Sehr schön gezeigt!
Nur einen Schritt verstehe ich nicht so ganz:

y = 1 + SQRT[x/(a²-1) + 1 - 2a/(a²-1)] für x + (a²-1) - 2a > 0

x + (a²-1) - 2a > 0

??

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ach, doch, ich habs, es ist einfach mit a^2-1 multipliziert worden!

schönen dank auch!

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und weswegen müssen die Betragsstriche für a vorhanden sein??

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Müssen nicht

x > 2 -(|a|+1)² für a 2 -(-a+1)² für a 2 -(a-1)² für a [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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ok, ich kann das nun nachvollziehen, mir ist zwar nich so ganz klar wie du da so schnell hattest drauf kommen können, hatte nichtmal unser mathelehrer ohne buch, aber gut…
herzlichsten dank!