Parameterfreie Darstellung einer Ebene im R^3

Wissenschaft Physik
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Hallo!

Ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E1 (Matrix):
| x y z 1 |
| 1 0 1 1 | = 0
|-1 1 2 1 |
| 2 3 4 1 |

und E2: 3x-2y+5z+7=0.

Ist y-z=0 eine Gleichung für die Ebene E1?

Mein Problem:
Ich weiß, daß y-z=0 KEINE Gleichung für E1 ist. Allerdings weiß ich nicht den Lösungsweg dahin.

Man muß wahrscheinlich die Ebene E1 in eine parameterfreie Darstellung bringen, aber wie genau macht man das???

Und wie ist dann das weitere Vorgehen?

Für eine Erklärung wäre ich echt dankbar!!!

Bis peter,
Timo

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Hi Timo!
Versuche doch mal, die Matrix nach ihrer ersten Zeile zu entwickeln. Danach müßtest Du die Gleichung y - z -1 = 0 erhalten ( falls ich mich nicht verrechnet habe ).
Das ist offenbar nicht die gleiche Ebene wie y - z = 0 sondern eine zu dieser parallele Ebene, welche die x - z - Ebene bei -1 schneidet ( y - z = 0 schnitt diese Ebene genau auf der x - Achse ).
Unklar ist mir, was in Deiner Fragestellung die zweite Ebene, also 3x - 2y + 5z + 7 = 0 soll, sie wird zur Lösung Deines Problems doch nicht benötigt, oder geht die genaue Aufgabe vielleicht noch weiter ?
Ich hoffe, daß ich helfen konnte Cumulus.

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Hallo Horst!

Danke erst mal für den Tip, jetzt konnte ich es auch lösen. Allerdings bekomme ich y - z + 1 = 0 heraus…

Mir ist allerdings immer noch nicht klar, warum man nach der 1. Zeile entwickeln muss. Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich ein bisschen von der Matrizenschreibweise der Ebene irritiert bin und diese nicht ganz verstehe… (Erklärung?)

Auf jeden Fall erst mal vielen Dank!

Timo

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Allerdings bekomme ich y - z + 1 = 0 heraus…

Ist ja richtig. Habe mich doch wieder mal verrechnet :frowning:

Mir ist allerdings immer noch nicht klar, warum man nach der

  1. Zeile entwickeln muss.
    Mußt Du nicht, am Ergebnis ändert sich nichts, wenn man die vorgegebene Determinante nach einer anderen Zeile (oder Spalte) entwickelt.
    Im übrigen ist es mit der Matrix (besser Determinante) wie mit der Gleichung: Alle Wertetripel x,y,z , die diese „zu Null machen“ liegen auf gerade der durch sie bveschriebenen Ebene.