Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei einer Partialbruchzerlegung zum Thema Laplacetransformation. Es ist eigentlich ne einfache Gleichung…
Ich habe die Gleichung:
F(s) = 1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2)
Diese Gleichung soll nun partial zerlegt werden, so dass sich als
Ergebnis F(s) = 1/(s+2) - 1/(s+1) + 1/(s+1)^2 ergibt.
Könnt ihr mir den Rechenweg erklären. Habs schon versucht, komm aber
auf nix Gescheites.
Danke
Gruß Markus
hi,
F(s) = 1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2)
Diese Gleichung soll nun partial zerlegt werden, so dass sich
alsErgebnis F(s) = 1/(s+2) - 1/(s+1) + 1/(s+1)^2 ergibt.
ja. und? wo liegt das problem?
es gilt ja (durch ausrechnen):
(*) 1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2) = 1/(s+2) - 1/(s+1) + 1/(s+1)^2
s^2 + 3s + 2 = (s+2)*(s+1)
(durch lösung der quadratischen gleichung s^2 + 3s + 2 = 0)
also ist die linke seite von (*)
1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2) = 1/(s+1)^2 * 1/(s+2)
wenn du die rechte seite von (*) ausrechnest (auf gemeinsamen nenner bringen durch erweitern, zusammenfassen), dann bekommst du:
1/(s+2) - 1/(s+1) + 1/(s+1)^2 = ((s+1)^2 - (s+1)(s+2) + (s+2))/((s+1)^2(s+2)) =
= (s^2 + 2s + 1 - s^2 - 3s - 2 + s + 2)/((s+1)^2(s+2)) =
= 1 / ((s+1)^2 (s+2)) = 1/(s+1)^2 * 1/(s+2)
allgemeiner würde partialbruchtzerlegung hier mit dem ansatz funktionieren:
1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2) = A/(s+2) + B/(s+1) + C/(s+1)^2
und du würdest dir dann durch koeffizientenvergleich A = 1, B = -1 und C = 1 ausrechnen.
m.
Hallo,
kann das sein, dass das Minuszeichen des 2. Terms im Ergebnis falsch ist? Gehört da ein Pluszeichen hin? Habs vielleicht falsch abgeschrieben.
Über eine Erklärung des Rechenweges wär ich aber trotzdem froh, da ich es trotzdem noch ned richtig verstanden habe.
Danke
Gruß Markus
Hi.
Danke erstmal für die Antwort.
Habs aber leider noch ned ganz verstanden.
Wie kommst du auf die Therme im Nenner rechts vom Istgleichzeichen (siehe unten):
Du machst einmal im Nenner geteilt durch (s+2) , aber dann nochmal geteilt durch (s+2)^2. Das versteh ich ned…
Sorry, steh anscheinend aufm Schlauch.
Dein Weg war:
1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2) = A/(s+2) + B/(s+1) + C/(s+1)^2
und du würdest dir dann durch koeffizientenvergleich A = 1, B = -1 und C = 1 ausrechnen.
Gibts da ein Schema, das ich mir merken kann, wenn ichs scho ned kapier.
Markus
hi,
Wie kommst du auf die Therme im Nenner rechts vom
„terme“, nicht „therme“. hat nix mit wärme zu tun.
Istgleichzeichen (siehe unten):
Du machst einmal im Nenner geteilt durch (s+2) , aber dann
nochmal geteilt durch (s+2)^2. Das versteh ich ned…
in deinem nenner ist -2 eine doppelte nullstelle; da arbeitet man bei der zerlegung mit dem einfachen term und dem quadratterm.
Sorry, steh anscheinend aufm Schlauch.
Dein Weg war:
1/(s+1) * 1/(s^2+3s+2) = A/(s+2) + B/(s+1) + C/(s+1)^2
und du würdest dir dann durch koeffizientenvergleich A = 1, B
= -1 und C = 1 ausrechnen.Gibts da ein Schema, das ich mir merken kann, wenn ichs scho
ned kapier.
du versuchst, einen komplizierten term als summe einfacher bruchterme darzustellen. dass das im prinzip geht, sagt der „hauptsatz über partialbruchzerlegung“.
(lit.: http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung)
z.b.:
du hast (1-x)/(x^2+3x+2) = (-x+1)/(x^2+3x+2)
du versuchst, das als summe einfacher brüche darzustellen. dazu ist wichtig, wo der nenner 0 wird (auch z.b., wo er „zweifach 0“ usw. wird; s.o.)
ansatz:
(1-x)/(x^2+3x+2) = A/(x+1) + B(x+2)
weil bei x = -1 und x = -2 die nullstellen sind.
dann rechnest du:
A/(x+1) + B(x+2) = (A*(x+2) + B*(x+1))/((x+1)*(x+2)) =
= (Ax + A + Bx + 2B)/(x^2+3x+2) =
= ((A+B)*x + A+2B) / (x^2+3x+2)
also müsste A+B = -1 und A+2B = 1 sein (koeffizientenvergleich)
das liefert A = 2 und B = -3
also:
(1-x)/(x^2+3x+2) = 2/(x+1) - 3(x+2)
hth
m.
Schwere Geburt, aber jetz hab ichs verstanden.
Besten Dank für deine ausführliche Erklärung.
Echt super…
Gruß Markus