Partialbruchzerlegung

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich stelle mich gerade bei der PBZ ein bisschen blöd an, vielleicht kann mir einer von euch helfen…

Ich soll den Term (S+1)/(S-1)³ zerlegen…
meine Vorgehensweise:

  • Nullstellen d. Nenners: S = 1 (dreifache NS)
  • dann: A/(S-1) + B/(S-1) + C/(S-1) = (S+1)/(S-1)³
  • dann auf Hauptnenner (S-1)³ bringen: A(S-1)²+B(S-1)²+C(S-1)²=(S+1)
  • dann Koeffizientenvergleich:
    s: -2A -2B - 2C = 1
    s²: A+B+C = 0
    „1“: A+B+C = 1
    –> da bekomme ich aber nen Widerspruch raus, sprich ich mach irgendwas falsch… aber was?

Hoffe, ihr könnt mir helfen!
Danke schonmal im Voraus,
eure mathe-hassende Queeny!!

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Was soll da überhaupt noch zerlegt werden? Ist doch schon fertig.

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Hallo,

Ich soll den Term (S+1)/(S-1)³ zerlegen…

Also eine Übungsaufgabe? Oder wofür brauchst du die Zerlegung (so wie es dasteht, ist es eher praktischer)?

meine Vorgehensweise:

  • Nullstellen d. Nenners: S = 1 (dreifache NS)

OK

  • dann: A/(S-1) + B/(S-1) + C/(S-1) = (S+1)/(S-1)³

Nein, da du es mit einer mehrfachen Nullstelle zu tun hast. Deswegen der Ansatz:

\frac{S+1}{(S-1)^{3}}= \frac{A}{(S-1)}+\frac{B}{(S-1)^{2}}+\frac{C}{(S-1)^{3}}

\Rightarrow \frac{S+1}{(S-1)^{3}}= \frac{A\cdot(S-1)^{2}}{(S-1)^{3}}+\frac{B\cdot(S-1)}{(S-1)^{3}}+\frac{C}{(S-1)^{3}}

usw.

Viele Grüße
Kati

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Und was soll dabei anderes herauskommen als die Ausgangsformel?

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Hallo,

Und was soll dabei anderes herauskommen als die
Ausgangsformel?

Eine Zerlegung in
\frac{S+1}{(S-1)^{3}}= \frac{1}{(S-1)^{2}}+ \frac{2}{(S-1)^{3}}

Dass dies in diesem Fall erstmal nicht unbedingt sinnvoll erscheint, ist eine andere Sache.

Aber nachdem im Ursprungsposting etwas von „soll zerlegen“ steht, gehe ich davon aus, dass es eine Übungsaufgabe ist.

Wobei ich mir auch einen Fall konstruieren kann, in dem die Zerlegung interessant wäre: Man misst eine (x+1)/(x-1)³ -Abhängigkeit und vermutet, dass dieses Ergebnis eine Überlagerung verschiedener Effekte ist, die eine mit ∝ 1/(S-1), die andere mit ∝ 1/(S-1)³ und schaut dann, ob das möglich ist.

Oder man will die Stammfunktion zum Ausdruck (S+1)/(S-1)³ finden, dann ist es natürlich einfacher, wenn man die Zerlegung verwendet.

Viele Grüße
Kati

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http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

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Vielen Dank für die Erklärung, die hilft mir nämlich wirklich weiter!

Die ursprüngliche Aufgabe war, dass ich eine Differentialgleichung mittels Laplace-Transformation lösen soll und ich diesen Term irgendwie zerlegen muss, damit ich mit Hilfe von Korrespondeztabellen das ganze wieder rücktransformieren kann.

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http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Und?