Um die drei Konstanten zu bestimmen setze ich nun die jeweiligen Nullstellen in die dazugehörigen Funktionen ein.
x = -1 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 99 einsetzen in B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 3C => C=99
x = 2 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 441 einsetzen in A*(x+1)^² = 9A => 49
x = 0 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 45 einsetzen in A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = A - 2B - 2C => Werte für A und C einsetzen => 49 - 66 -2B | umstellen nach B bringt.
\frac{49-66}{2}=-8,5
Das heißt es muss irgendwo ein Fehler sein sonst stände hier nicht -8,5 sondern 45 oder???
Dein Ansatz war schon völlig korrekt. Du hast nur eine winzige Kleinigkeit vergessen. Damit die PBZ klappt, muss der Grad des Zählerpolynoms kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Also musst du vorab eine Polynomdivision durchführen und die PZB mit dem Restterm durchführen:
danke für deine schnelle und tolle Antwort, ich werde es im laufe des Tages nochmal neu rechnen, es freut mich, dass ich es ansonsten aber richtig habe
diesen ansatz wählen sollte:
\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D
}{(x+1)^2}
da im dritten therm im zähler auch ein x vorhanden sein kann, und die bedingung, dass der nenner um einen grad grösser ist, immernoch erfülllt ist. oder mache ich mir eine falsche überlegung??
lg niemand
von Hasenfuß ist richtig. Der Zähler des letzten Bruchs muss C lauten, weil die entsprechende Nullstelle reell ist (nämlich –1). Erst sobald sie komplex ist, muss dort ein Cx + D hin, und im Nenner dann ein Term der Form x2 + px + q (bei einer einfachen komplexen Nullstelle), oder allgemein (x2 + px + q)n mit n = die Vielfachheit der Nullstelle.
also ich habe die Ploynomdivision selbst nochmal versucht und komme jetzt nach langem Fehlersuchen auch auf dein Ergebniss
Aus:
\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}
folgt nach Polynomdivision:
\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}
ich habe dann einfach weitergerechnet.
wie gesagt der Nener ist gleich, also sind auch die Nullstellen gleich.
=> A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 9*(14x²-4x+1)
=>
x = -1 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9*19 = 171 einsetzen in A*(x+1) + B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = -3C => C=-57
x = 2 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9*49 einsetzen in A*(x+1)^² = 9A => A=49
x = 0 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9 einsetzen in A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = A - 2B - 2C => Werte für A und C einsetzen => 49 + 114 - 2B | umstellen nach B bringt.
Was meinst Du denn damit? Der PBZ-Ansatz besteht hier aus einer Summe dreier Brüche, von denen jeder einen anderen Nenner hat.
also sind auch die Nullstellen gleich.
??
A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 9*(14x²-4x+1)
Richtig. Jetzt multiplizierst Du beide Seiten aus bis Du die Gleichung in der Form
(…) x2 + (…) x + (…) = … x2 + … x + …
dastehen hast. In den (…)-Klammern links stehen dann bestimmte Linearkombinationen von A, B, C (also z. B. C – B + 2A = –36) und die rechten „…“ sind irgendwelche Zahlen. Dann stellst Du einen Koeffizientenvergleich an, also hier dreimal (…) = …
Dadurch erhältst Du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten A, B, C. Es lautet hier:
A + B = 126
2A – B + C = –36
A – 2B – 2C = 9
Löse es und dann brauchst Du das Ergebnis nur noch in der finalen Form aufzuschreiben.
x = -1 einsetzen in 9*(14x²-4x+1)
Vergiss das. Bei der PBZ werden keine Nullstellen irgendwo eingesetzt.
Nee. Rechne nochmal. Die Lösung des LGS ist A = 49, B = 77, C = –57.
Martin
PS: Du folgerst hoffentlich nicht aus A + B = 126, dass A und B dann beide die Hälfte von 126 sein müssen? Das wäre natürlich – sorry – grober Unfug. A + B = 126 ist zwar erfüllt, wenn Du A = B = 63 setzt, aber es ist genausogut erfüllt für z. B. A = 99 und B = 27 und noch unendlich viele weitere Kombinationen. Welche A-B-C-Kombination letztlich „die richtige“ ist, entscheiden alle drei Gleichungen zusammen.
PS: Du folgerst hoffentlich nicht aus A + B = 126, dass A und B dann beide die Hälfte von 126 sein müssen? Das wäre natürlich – sorry – grober Unfug. A + B = 126 ist zwar erfüllt, wenn Du A = B = 63 setzt, aber es ist genausogut erfüllt für z. B. A = 99 und B = 27 und noch unendlich viele weitere Kombinationen. Welche A-B-C-Kombination letztlich „die richtige“ ist, entscheiden alle drei Gleichungen zusammen.
Ich habe mir das ganze mal bei Wikipedia angesehen, http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem und muss leider sagen, dass ich sowas schonmal in einem Buch gesehen habe aber selbst noch nie gemacht habe deshalb kam ich auch garnicht auf die Idee das so zu lösen aber wie du siehst, habe ich in meiner rechnung die gleichen Ergebnisse raus, was mich natürlich sehr freut
Danke für deine Hilfe, du hast mir wirklich sehr geholfen.
freue mich auf eure Antworten
deshalb kam ich auch garnicht auf die Idee das so zu lösen aber wie du siehst, habe ich in meiner rechnung die gleichen Ergebnisse raus, was mich natürlich sehr freut