Partialbruchzerlegung
Hossa 
Erstmal ein paar Worte zur Partialbruchzerlegung an sich…
Für die Partialbruchzerlegung muss der Grad (=höchster vorkommender Exponent von x) des Zählerpolynoms kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Ist das nicht der Fall, muss man vorab eine Polynomdivision durchführen und die Partialbruchzerlegung auf dem Rest druchführen. Also sei vorausgesetzt, dass die Bedingung oben erfüllt ist.
Im ersten Schritt muss das Nenner polynom in Faktoren zerlegt werden. Diese Faktoren sind entweder lineare Funktionen der Form (x+a) oder quadratische Funktionen der Form (x²+px+q).
Für die Partialbruchdarstellung gilt dann die Transformation:
\text{linearer Faktor}:\quad x+a\quad\to\quad\frac{A}{x+a}
\text{quadratischer Faktor}:\quad x^2+px+q\quad\to\quad\frac{Ax+B}{x^2+px+q}
Wichtig ist, dass bei einem quadratischen Faktor ein linearer Zähler mit 2 Variablen (Ax+B) auftaucht. Wird oft vergessen!
Die Faktoren können auch mehrfach vorkommen, dann hat man in der Faktorisierung z.B. Terme der Form (x+a)³ oder (x²+px+q)³. In diesem Fall muss man beim Aufstellen des Partialbruches den Exponenten in Einserschritten hochzählen:
(x+a)^3\quad\to\quad\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}+\frac{C}{(x+a)^3}
(x^2+px+q)^3\quad\to\quad\frac{Ax+B}{x^2+px+q}+\frac{Cx+D}{(x^2+px+q)^2}+\frac{Ex+F}{(x^2+px+q)^3}
Dazu ein Beispiel. Das Nennerpolynom sei:
x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+1=(x-1)^2(x^2+1)^2
Die Partialbruchdarstellung lautet dann:
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}+\frac{Ex+F}{(x^2+1)^2}
Der Rest ist dann einfach. Mann muss die Partialbruchzerlegung auf einen Bruchstrich bringen und dann durch Koeffizientenvergleich mit dem Zähler polynom die Konstanten ermitteln.
Ich habe Probleme bei der Partialbruchzerlegung des Bruchs
1/(x^4-1).
Nun konkret zu deinem Problem…
Hier sieht man sofort die dritte binomische Formel:
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)
Der zweite Faktor (x²+1) hat keine Nullstellen mehr, mit ihm sind wir fertig. Der erste Faktor hat die Nullstellen +1 und -1:
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
Damit lautet die Partialbruchzerlegung:
\frac{1}{x^4-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}
Diese wird durch Erweitern der Einzelbrüche auf einen Bruchstrich gebracht:
\frac{1}{x^4-1}=\frac{A(x+1)(x^2+1)}{x^4-1}+\frac{B(x-1)(x^2+1)}{x^4-1}+\frac{(Cx+D)(x-1)(x+1)}{x^4-1}
\frac{1}{x^4-1}=\frac{A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)(x+1)}{x^4-1}
Den Nenner brauchen wir nun nicht mehr, weil der Koeffizientvergleich im Zähler stattfindet. Die beiden Zähler links und rechts vom Gleichheitszeichen müssen also gleich sein:
1=A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)(x+1)
Also muss die rechte Seite ausgerechnet werden:
1=A(x^3+x^2+x+1)+B(x^3-x^2+x-1)+(Cx+D)(x^2-1)
1=Ax^3+Ax^2+Ax+A+Bx^3-Bx^2+Bx-B+Cx^3+Dx^2-Cx-D
1=Ax^3+Bx^3+Cx^3+Ax^2-Bx^2+Dx^2+Ax+Bx-Cx+A-B-D
1=(A+B+C)x^3+(A-B+D)x^2+(A+B-C)x+(A-B-D)
Der Koeffizientenvergleich liefert nun 4 Bedingungen für die 4 Unbekannten A, B, C und D:
1:;A+B+C=0
2:;A-B+D=0
3:;A+B-C=0
4:;A-B-D=1
(1)-(3):;(A+B+C)-(A+B-C)=0-0\Longrightarrow 2C=0\Longrightarrow C=0
(2)-(4):;(A-B+D)-(A-B-D)=0-1\Longrightarrow 2D=-1\Longrightarrow D=-1/2
Die Werte für C und D in die 4 Gleichungen oben eingesetzt ergibt 2 vereinfachte Restgleichungen zur Bestimmung von A und B:
1^\prime:;A+B=0
2^\prime:;A-B=1/2
(1^\prime)+(2^\prime):;(A+B)+(A-B)=0+1/2\Longrightarrow 2A=1/2\Longrightarrow A=1/4
A=1/4;\text{in};(1^\prime)\Longrightarrow B=-1/4
Also lauten die 4 Unbekannten:
A=\frac{1}{4}\quad;\quad B=-\frac{1}{4}\quad;\quad C=0\quad;\quad D=-\frac{1}{2}
und damit das gesuchte Ergebnis:
\frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{1}{2(x^2+1)}
Viele Grüße
Hasenfuß
