Hallo zusammen,
es gibt f"ur eine Dimension den folgenden Satz, um Umkehrfunktionen abzuleiten:
Seien $ U, V \in \R $ und $ f : U \rightarrow V $ bijektiv und diffbar. Dann ist auch $ f^{-1} : V \rightarrow U $ diffbar, und es gilt:
$$ (f^{-1})’ = \frac{1}{ f’ \circ f^{-1} } $$
Jetzt meine Frage: Gibt es einen "ahnlichen Satz f"ur mehrere Dimensionen und partielle Ableitungen?
Seien also $ U \in \R^n, V \in \R^m $ und $ f : U \rightarrow V $ bijektiv und diffbar. Gesucht ist analog zu oben ein Ausdruck f"ur
$$ D_k(f^{-1}) $$
dabei ist $ D_k $ die partielle Ableitung nach der $k$-ten Komponente.
Den obigen eindimensionalen Satz kann man deshalb nicht komponentenweise anwenden, weil im Allgemeinen die $k$-te Komponente der Umkehrfunktion nicht die Umkehrfunktion der $k$-ten Komponente ist, also
$$ (f_k)^{-1} = (f^{-1})_k $$
nicht gilt.
Ich hoffe, das ist einigerma"sen verst"andlich (und fehlerfrei) ausgedr"uckt, und freue micht auf Antworten.
Tobias