Hallo,
Ich suche anschauliches Material zu partiellen Ableitungen
bzw. habe einige Fragen. Den in Physik schmeißt der Prof die
ganze Zeit mit divs, grads und rots um sich, stets mit der
Begründung, dass ahtten sie ja schon im ersten Semester.
Problem: Als einer, der im SS angefangen hat, hab ich
keinerlei Plan.
Das kenn ich, ich hab auch im SS angefangen 
Folglich entstehen einige Fragen, zum
Beispiel:
Wieso wird bei dem Gradienten nicht die totale Ableitung
verwendet?
Das ist natürlich Fallabhängig. Aber ich probiers mal anhand eines Beispiels:
Du betrachtest ein Potential V(x,t), in dem sich ein Teilchen bewegt. Wenn du wissen willst, welche Kraft auf das Teilchen wirkt, brauchst du Grad V(x,t). Die Kraft ist aber eine momentane Größe, die t-Abhängigkeit interessiert dich nicht. Daher verwendet man die partielle Ableitung. (Vorsich hier: Physiker und Mathematiker haben eine andere Vorstellung davon, was eine partielle und was eine totale Ableitung ist.)
Wieso bedeutet div v = 0, dass es sich um ein quellfreies Feld
hat?
Gute Frage. Ich hab mich einfach dran gewöhnt, dass es so ist
Trotzdem ein Versuch: Du hast ein Feld F = (Fx, Fy, Fz).
Du weisst: von nichts kommt nichts. Wenn sich also F an einer Stelle ändert, muss das einen Grund haben. D.h. wenn z.B. dFx/dx ungleich Null ist, kann das entweder von einer Änderung von Fy und Fz herkommen, oder eben es gibt eine Qulle, von der diese Änderung herkommt.
Stell dir vor, die Feldlinien wären Fäden. Wenn du sich irgendwo die Dicke der Fäden ändert (also dFx/dx ungleich 0), dann können die Fäden Material an die anderen Fäden abgeben (z.B. dFy/dy = - dFx/dx), oder sie verschwinden in einer Senke oder kommen aus einer Quelle.
War das halbwegs verständlich?
Was bedeuet rot v?
Wenn v irgendwo geschlossene Schleifen enthält, ist rot v an dieser Stelle ungleich null. rot v zeigt dann senkrect von der Schleife weg.
Grüße,
Moritz
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