Hallo!
Wie kann ich beweisen, dass die Betragsfunktion f: R^n{0} -> R, x -> f(x):=|x| beliebig oft stetig partiell differenzierbar ist?
Ich hatte daran gedacht, es mit vollständiger Induktion zu versuchen, bin damit aber im Induktionsschritt auch nicht weiter gekommen.
Hallo,
Wie kann ich beweisen, dass die Betragsfunktion f: R^n{0} ->
R, x -> f(x):=|x| beliebig oft stetig partiell differenzierbar
ist?Ich hatte daran gedacht, es mit vollständiger Induktion zu
versuchen, bin damit aber im Induktionsschritt auch nicht
weiter gekommen.
Die erste (und, je nachdem wie du es machst auch die zweite) Ableitung sind Spezialfaelle, danach ist die Funktion nur noch die 0-Funktion (ausgenommen x = 0). Da diese sich beim ableiten reproduziert, ist der Induktionsschritt trivial.
Gruesse,
Moritz
Hallo,
Wie kann ich beweisen, dass die Betragsfunktion f: R^n{0} ->
R, x -> f(x):=|x| beliebig oft stetig partiell differenzierbar
ist?
Die erste (und, je nachdem wie du es machst auch die zweite)
Ableitung sind Spezialfaelle, danach ist die Funktion nur noch
die 0-Funktion (ausgenommen x = 0). Da diese sich beim
ableiten reproduziert, ist der Induktionsschritt trivial.Gruesse,
Moritz
Hi Moritz !
Über diese Antwort solltest du vielleicht nochmal nachdenken. Wieso sollen die dritten Ableitungen der Betragsfunktion 0 sein ?
hendrik
Schon klar, die Betragsfunktion hat für x>0 eine konstante Steigung von 1 und für x
Schon klar, die Betragsfunktion hat für x>0 eine konstante
Steigung von 1 und für xn->R ableitest, dann bekommst du einen Vektor mit den partiellen Ableitungen als Komponenten. Dieser Vektor ist der sogenannte Gradient.
Wenn du eine Funktion f:Rn->Rm ableitest bekommst du eine mxn-Matrix, die sogenannte Jacobi-Matrix.
Der Gradient von f(x)=|x| ist x/|x|, die partiellen Ableitungen sind
\frac{\partial}{\partial x_i}f(x)=\frac{x_i}{\mid x\mid}
Noch mal eine generelle Frage zur beliebig oft stetig
partiellen Diff’barkeit: Wie würde ich die ganz allgemein für
eine andere Funktion zeigen, also z.B. xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ,
(x,y)!=(0,0). Hier werden die partiellen Ableitungen ja auch
nach mehrmaligem Differenzieren nicht 0. Gibt es einen Satz,
den man in solchen Fällen anwenden kann?
Mir fällt da nur ein, dass eine kommplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar ist. Ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Solche Funktionen heißen auch analytisch (falls die Taylorreihe gegen f konvergiert um genau zu sein).
Standardmäßig würde ich die ersten partiellen Ableitungen berechnen, schauen ob ich ein Muster erkenne und dann versuchen einen Induktionsbeweis zu führen, so wie du es ja auch schon probiert hast.
Grüße
hendrik
Also wenn du eine Funktion f:Rn->R ableitest, dann
bekommst du einen Vektor mit den partiellen Ableitungen als
Komponenten. Dieser Vektor ist der sogenannte Gradient.
Wenn du eine Funktion f:Rn->Rm ableitest
bekommst du eine mxn-Matrix, die sogenannte Jacobi-Matrix.
Der Gradient von f(x)=|x| ist x/|x|, die partiellen
Ableitungen sind
\frac{\partial}{\partial
x_i}f(x)=\frac{x_i}{\mid x\mid}
Habe ich es denn richtig verstanden, dass der Gradient gleich der Ableitung der Funktion ist, also quasi die einzelnen partiellen Ableitungen als Vektor zusammengepackt:
f’(x)=(df/dx_1,df/dx_2,…,df/dx_n)
Dann wäre f’(x) = x/|x| und f’’(x) = (E*|x|-x*x/|x|)/|x|^2 = (E-1)/|x| = 0 mit E = grad(x) = nxn Eiheitsmatrix.
Dann stimmt das doch eigentlich mit f(k)(x)=0 für alle k>=2. Weil du in deinem ersten Beitrag meintest, dass es nicht so wäre?
Habe ich es denn richtig verstanden, dass der Gradient gleich
der Ableitung der Funktion ist, also quasi die einzelnen
partiellen Ableitungen als Vektor zusammengepackt:
f’(x)=(df/dx_1,df/dx_2,…,df/dx_n)
Richtig.
Dann wäre f’(x) = x/|x| und f’’(x) = (E*|x|-x*x/|x|)/|x|^2 =
(E-1)/|x| = 0 mit E = grad(x) = nxn Eiheitsmatrix.Dann stimmt das doch eigentlich mit f(k)(x)=0 für
alle k>=2. Weil du in deinem ersten Beitrag meintest, dass es
nicht so wäre?
Also wenn ich f(x)=|x| einmal partiell ableite bekomme ich
\frac{\partial}{\partial x_i}f(x)=\frac{x_i}{\mid x\mid}
Das nochmal partiell abgeleitet ergibt
\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)=-\frac{x_i x_j}{\mid x\mid^3}+\delta_{ij}\frac{1}{\mid x\mid}
Würde man diese zweiten Ableitungen in einer Matrix zusammenfassen, wäre das übrigens die Hessematrix.
Ich weiß aber nicht was da 0 werden soll.
Gruß
hendrik
Ich habe doch schon hingeschrieben, wie ich auf 0 gekommen bin. Oder kann man dabei die Quotientenregel nicht anwenden?
Falls aber doch nicht 0 rauskommt, wie zeige ich denn dann, dass |x| in x aus Rn ohne 0 beliebig oft stetig partiell diff’bar ist? Denn darum ging es ja eigentlich
Ach so, das war die Quotientenregel, jetzt weiß ich auch wie du auf dein Ergebnis gekommen bist. Ich glaube allerdings im Mehrdimensionalen gibts so eine Quotientenregel nicht, bin mir nicht hundertprozentig sicher, aber das müsstest du nochmal nachschauen.
Um zu beweisen, dass f unendlich oft partiell differenzierbar ist, würde ich wie gesagt die ersten partiellen Ableitungen berechnen und nach einem Muster suchen, dass du dann mit Induktion beweisen kannst.
Die ersten beiden partiellen Ableitungen hast du ja schon. Ich geb dir noch die dritte. Falls ich mich nicht verrechnet hab ist das
\frac{\partial^3}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}f(x)=3\frac{x_i x_j x_k}{\mid x\mid^5}-\frac{1}{\mid x\mid^3}(\delta_{ij}x_k+\delta_{ik}x_j+\delta_{jk}x_i)
Erkennst du da ein Muster ?
Gruß
hendrik
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