Hallo!
Gibt es irgendeine Faustregel an die man sich halten kann, wenn man das u(x) und v’(x) bei der partiellen Integration festlegt?
Hab nämlich gerade mehrmals falsch gelegen und dachte mir, dass man vielleicht mit einer richtigen Entscheidung Papier spart, ein paar Bäume rettet, nicht zuletzt um die Welt ein wenig zu entlasten - und meine Schreibhand.
Grüsli, Justin
Hallo Justin!
leider ist die Integration oft um einiges kniffliger als die Differentiation, mit einem festem Schema kommt man meist nicht weit. Partielle Integration und Substitution sind natürlich Hilfen, die man aber auch gewinnbringend einsetzen muss und genau darin liegt die Kunst. Eventuell ist es auch nötig mehrmals part. zu intgegrieren oder mit Substidution zu kombinieren, was natürlich eine Integration „mit Durchbilck“ erschwert. Mir hilft es am meisten richtig viel Papier zu verschwenden, um ein Gefühl für verschiedene Integrale zu entwickeln 
Zur partiellen Integration würde ich vll. folgende Tips geben:
Meist will man eins von zwei Dingen erreichen:
a) entweder soll sich das Integral vereinfachen, sodass man es lösen kann, oder
b) es soll wieder das Anfangsintegral entstehen, sodass man es „zur anderen Seite“ rüberschieben kann.
Um die entscheidung was nun u’ und v zu sein hat zu erleichtern sollte man sich vorher überlegen, wie nachher das neue Integral aussieht: welcher der Terme wird duch ableiten einfacher, welcher lasst sich gut integrieren?
Sinus & Kosinus, sowie die e-Funktion sind einfach zu integrieren. Außerdem reproduzieren sich auch immer wieder selbst, sodass sie oft Kandidaten für Variante b) sind. Logarithmus und Potenzen vereinfachen sich durch ableiten. Immer funktionieren wird es damit aber nicht.
Vielleicht bringt dir das der Rettung der Wälder näher
Liebe Grüße,
Matthias
Hi,
was mein Vorredner gesagt hat, kann ich alles unterschreiben.
Beispiele für die Strategien, die quazee beschrieben hat, stehen auf wikipedia. Einfach nach dem Begriff „partielle Integration“ suchen und dann zum entsprechenden Punkt herunterscrollen. Vielleicht hilfts dir ja.
Gruss,
Timo
hi,
Gibt es irgendeine Faustregel an die man sich halten kann,
wenn man das u(x) und v’(x) bei der partiellen Integration
festlegt?
partielles integrieren
integral(u’.v) = u.v - integral(u.v’)
ist die umkehrung der produktregel für das differenzieren:
(u.v)’ = u’.v + u.v’
partielles integrieren führt ein integral auf ein anderes zurück und ist dann sinnvoll, wenn das neue integral irgendwie einfacher wird. wenns schwieriger wird, hast du falsch angesetzt; wenns gleich bleibt, tun sich weitere chancen auf.
z.b. integral(x . e^x) = …
u’ = x und v = e^x ist der verkehrte ansatz, denn das neue integral enthält dann u = x^2/2 und v’ = e^x …
also umgekehrt: u’ = e^x, v = x; also u = e^x, v’ = 1 und die sache wird einfacher. das, was neu wird, soll einfacher sein.
z.b. integral(cos x . e^x) = …
u’ = cos x und v = e^x liefert: u = sin x und v’ = e^x
also:
integral(cos x . e^x) = sin x . e^x - integral(sinx . e^x)
das geht noch mal so:
integral(sin x . e^x) = -cos x . e^x - integral(-cos x . e^x) =
= -cos x . e^x + integral(cos x . e^x)
insgesamt:
integral(cos x . e^x) = sin x . e^x + cos x . e^x - integral(cos x . e^x)
also:
2 . integral(cos x . e^x) = e^x (sin x + cos x)
integral(cos x . e^x) = e^x (sin x + cos x) / 2
und man rechnet nicht wirklich im kreis! sondern nur scheinbar.
m.