Ich weiss, der Titel ist etwas schlecht gewählt, allerdings muss ich sagen, dass mir nichts besseres dazu einfällt!
Ich stehe gerade vor einer Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiss. Gegeben ist:
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi}
Die Aufgabenstellung ist es nun folgendes zu beweisen:
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^{n}e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi} * 0, n = 1, 3, 5, …
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\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^{n}e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi} * \frac{1*3*5*(n-1)}{2^{\frac{n}{2}}}, n = 2, 4, 6, …
Mein Ansatz war relativ klar, partielle Integration. x^n ist dabei g’(x) und e^-x^2 ist f(x). Das ergibt x^(n + 1)/n+ 1 für g(x) und -2xe^-x^2 für f’(x).
Ich habe dann die Formel aufnotiert für die partielle Integration und bisschen hin und her gerechnet, aber komme nicht ansatzweise auf etwas ähnliches, wie gefordert.
Es wäre toll, wenn mir jemand einen kleinen Anstoss in die richtige Richtung geben könnte!
(lach) der ist absolut OK. „Problem, brauche dringend Hilfe!!!“ – das sind schlecht gewählte Titel
∫ –∞…∞ xn e–x² dx
Für ungerade n ist die Sache klar: Das Integral ist Null, weil der Integrand eine ungerade Funktion ist, d. h. f(–x) = –f(x). Genauer ist xn ungerade und e–x² gerade, und das Produkt ist dann ungerade.
Für gerade n tippe ich auf vollständige Intuition Induktion über n. Käme vielleicht auf einen Versuch an (viel Glück!).
Zuerst möchte ich mich in aller Form dafür entschuldigen, dass ich mich so lange nicht bedankt habe und auch keine Antwort verfasst habe, aber ich war die letzte Zeit vom Internet getrennt (schlimm, ja ich weiss ). Daher hole ich das jetzt nach: Danke für die Tips! Leider habe ich sie nicht mehr gesehen, bin jedoch auch noch auf eine Lösung gekommen!
Dass die Ungeraden 0 ergeben, habe ich mit der selben Überlegung gemacht, aber für die anderen bin ich etwas anders vorgegangen! Ich werde das dann noch nachtragen, da ich gerade meine Notizen nicht zur Hand habe.
