Partielle integration

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo .
leider habe ich die speziellen zeichen nicht und schreibe daher statt dem Zeichen für Integral , also die geschlängelte Linie (Integral )

Und zwarhaben wir gelernt

(Integral)f’(x)(mal)g(x) =f(x)(mal) g(x) - (Integral)f(x)(mal)g’(x)

Bemerkung: f sollte leicht integrierbar sein und g eine Ableitung ergeben die einfacher ist als die Ausgangsfunktion .

Als Beispiel hatten wir behandelt
(Integral)x(mal)sin2x dx=x(mal)1/2 (-cos2x)-(Integral)1(mal) 1/2(-cos2x) dx
ich hoffe dass das jetz nichts zu verwirrend ist mit meinem (Integral ) :smile:
Meine Bitte: Könnte mir jemand diese Integration an dem Beispiel genau in den Einzelschritten/Einzelüberlegungen erklären ? Ich komme damit nich ganz klar .
Vielen Dank

#2

Hast du Probleme mit dem Beispiel oder damit wie man auf diese Lösung kommt?
Der Witz ist, dass du einen Integranden in der Form f*g hast, wobei der eine „nicht schlimmer“ wird beim Integrieren und der andere beim ableiten „verschwindet“ also zu eins wird.
ein anderes Beispiel wäre x*e^(x) hier lässt sich e^(x) leicht integrieren und x wird beim differenzieren wieder zur eins…

int(x*e^(x)) = [x*e^(x)] - int(1*e^(x))

[…] ist bei mir die Auswertung auf den Grenzen…
Falls dir nicht klar ist, woher das überhaupt kommt: (f*g)’ = f’*g + f*g’ integrieren…

Lässt sich übrigens auch mehrmals hintereinander ausführen… Für x^2*e^(x) müsstest du zwei Mal partiell integrieren.
Gruß

#3

Hossa :smile:

Und zwarhaben wir gelernt

(Integral)f’(x)(mal)g(x) =f(x)(mal) g(x) -
(Integral)f(x)(mal)g’(x)

Ja, das folgt unmittelbar aus der Produktregel der Differentialrechnung:

(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime\Longrightarrow f^\prime g=(fg)^\prime-fg^\prime\Longrightarrow\int f^\prime g,dx=fg-\int fg^\prime,dx

Als Beispiel hatten wir behandelt

(Integral)x(mal)sin2x dx=x(mal)1/2 (-cos2x)-(Integral)1(mal)
1/2(-cos2x) dx

\int \underbrace{x}_{=g}\underbrace{\sin(2x)}_{=f^\prime},dx=\underbrace{x}_{=g}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)}_{=f}-\int\underbrace{1}_{=g^\prime}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)}_{=f},dx

Hierbei wurde g abgeleitet und f’ integriert:

g(x)=x\quad\Longrightarrow\quad g^\prime(x)=1

f^\prime(x)=\sin(2x)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)

Wenn du das nun alles sortierst, erhälst du:

\int x\sin(2x),dx=-\frac{1}{2}x\cos(2x)+\frac{1}{2}\int\cos(2x),dx

Das rechte Integral ist kein Problem mehr:

\int x\sin(2x),dx=-\frac{1}{2}x\cos(2x)+\frac{1}{4}\sin(2x)+C

Viele Grüße

Hasenfuß