Partielle Integration und Subtitution-->Wann wa

Wissenschaft Physik
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Hallo Leute,

ich bin momentan ein bisschen verwirrt, aufgrund von 2 Aufgaben.

Ich weiß nicht genau wann ich partielle Integration oder Substitution anwende.

Es geht um folgende Aufgaben die mir diese Erkenntnis verwehren:

Integralbereich: Wurzel3 und -Wurzel3
von
x*ln(4-x²)*dx

Hier wird normale Subtitution angewendet,ok das hätte ich auch gemacht. Aber:

Integralbereich: 1 und 0
von
x*ln(2-x)*dx

Hier verwendet das Lösungsbuch Partielle Integration und Subtitution gleichzeitig. Warum? Ich finde die beiden Aufgaben sehen sich vom Typ her identisch aus. Oder kann man beide Aufgaben mit beiden Verfahren berechnen? Wenn ja, komme ich bei der 2. mit Subtitution nicht auf das richtige Ergebnis…

Kann mir jemand erklären warum es hier solche Unterschiede gibt? Worauf muss ich achten wann ich welches Verfahren zu benutzen habe?

Wäre für Tipps dankbar

Gruß

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hi,

Ich weiß nicht genau wann ich partielle Integration oder
Substitution anwende.

ehrliche antwort: je nachdem, was erfolgreich ist.
manchmal geht beides.

partielle integration ist die umkehrung der produktregel für das differenzieren: (uv)’ = u’v + uv’

also: uv = INT(uv)’ = INT(u’v) + INT(uv’)

also:
INT(u’v) = uv - INT(uv’)

man führt also ein integral auf ein anderes zurück. sinnvoll (erfolversprechend) ist die methode dann, wenn das neue integral irgendwie einfacher ist als das alte.

integration durch substitution ist die umkehrung der kettenregel für das differenzieren;
u(v(x))’ = u’(v(x)) * v’(x)
(etwas schludrig hingeschrieben)

also
u(v(x)) = INT(u(v(x))’ = INT(u’(v(x)) * v’(x))

sinnvoll (erfolgversprechend) ist substitution dann, wenn im produkt unter dem integral der eine faktor (beinahe) die innere ableitung des anderen faktors ist.

Es geht um folgende Aufgaben die mir diese Erkenntnis
verwehren:

Integralbereich: Wurzel3 und -Wurzel3
von
x*ln(4-x²)*dx

typisch: x ist beinahe die innere ableitung von ln(4-x²). (die ist nämlich -2x).

Integralbereich: 1 und 0
von
x*ln(2-x)*dx

Hier verwendet das Lösungsbuch Partielle Integration und
Subtitution gleichzeitig. Warum?

gleichzeitig? oder alternativ?

Ich finde die beiden Aufgaben
sehen sich vom Typ her identisch aus. Oder kann man beide
Aufgaben mit beiden Verfahren berechnen?

aufs „aussehen“ kommts nicht so an. und oft gehen beide methoden.

Wenn ja, komme ich
bei der 2. mit Subtitution nicht auf das richtige Ergebnis…

Kann mir jemand erklären warum es hier solche Unterschiede
gibt?

welche unterschiede?

hth
m.

3

Hallo michael

danke für die Antwort. Ich weiss ungefähr was du meinst,ich lese mir das morgen mal nochmal genauer durch (komme gerade von der Arbeit).

Ich werde das mal ausprobieren

Das was du gesagt hast,gilt das auch für e-Funktionen Integrale?

Zur 2. Aufgabe: Ja die haben beides gleichzeitig gemacht: Partielle Integration und Substitution

Zu den Unterschieden: Hat sich ja jetzt erledigt :wink:

Bis morgen

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hi,

Das was du gesagt hast,gilt das auch für e-Funktionen
Integrale?

ja.
das gilt allgemein.
integrieren ist allerdings eine art kunsthandwerk. es gibt nicht immer den eindeutig zielführenden weg. man muss probieren; routine hilft beim erkennen von chancen.

Zur 2. Aufgabe: Ja die haben beides gleichzeitig gemacht:
Partielle Integration und Substitution

ich denke, ich weiß, was du meinst.
es gibt integrale (und INT(x * ln(2-x) ist so eins), bei denen man mit partieller integration auf eines kommt, das man dann mit substitution lösen kann. und umgekehrt. du kannst auch nach substitution auf ein integral kommen, das sich partiell lösen lässt. das ist aber nicht „gleichzeitig“ (würd ich sagen), sondern „ineinander“.

z.b.:
INT(x * ln(2-x) …
nehmen wir u = x, v’ = ln(2-x)
dann ist u’ = 1, v = INT(ln(2-x))

nebenrechnung:
INT(ln(2-x)) dx =
subst.: 2-x = u, 2-u = x, dx/du = -1, dx = -du
= -INT(ln(u))du = -(u * ln(u) - u) =
= u - u*ln(u) = 2-x- (2-x) * ln(2-x) =
= (2-x) * (1 - ln(2-x))

also:
INT(x * ln(2-x) dx) =
= x * (2-x) * (1 - ln(2-x)) - INT(1 * (2-x) * (1 - ln(2-x))dx =
= x*(2-x)*(1 - ln(2-x)) - INT(2*(1-ln(2-x))-(x * (1-ln(2-x))dx =
= x*(2-x)*(1 - ln(2-x)) - 2INT(1dx) + 2INT(ln(2-x)) +INT(xdx) - INT(x*ln(2-x)dx

jetzt hast du im summanden rechts das gleiche integral noch mal wie links, also:
2 * INT(x * ln(2-x) dx) =
= x*(2-x)*(1-ln(2-x)) - 2x + 2((2-x)* (1-ln(2-x)) + x²/2 =
= (1-ln(2-x)) * (2x-x²+4-2x) + x²/2 - 2x =
= (1-ln(2-x)) * (4-x²) + x²/2 - 2x

und also noch halbieren.

hoffe sehr (und kann nicht dafür garantieren), dass kein rechenfehler drin ist und das ganze nachvollziehbar wird.

methode: in einer partiellen integration entsteht ein integral, das man (als nebenrechnung) durch substitution löst. es entsteht insgesamt eine gleichung, in der das zu lösende integral noch einmal mit verkehrtem vorzeichen auftritt. man schafft das gesuchte dann auf eine seite …

hth
m.

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Hallo Michael

genau das meinte ich,ja ich habe schon ungefähr verstanden wie man das macht. Ich versuche mir gerade Regeln aufzustellen wann ich was machen „sollte“…

Aber guck mal bei der Aufgabe:

Integralbereich: e und 1
von
x*ln(x)*dx

Hier kann man ja super beide Verfahren anwenden. Wie das mit der partiellen funktioniert weiß ich,aber bei der Subtitution hackt es gerade bei mir:

Ich hätte bei der Aufgabe von Anfang an Subtitution gemacht.

Ich hätte das in 2 Integralen aufgeteilt:

Integralbereich: e und 1
von
x*dx---->z=x z’=1 du=dx

Integralbereich: e und 1
von
ln(x)*dx----> u=x u’=1 du=dx

Dann komme ich auf

Integralbereich: e und 1
von
z*du

Integralbereich: e und 1
von
ln (u)*du

=
[0,5z²] von e und 1
+
[u\*ln(u)-u] von e und 1

=
Jetzt setze ich dementsprechend die Grenzwerte ein
[(3,69)-(0,5)]+[(0)-(-1)]
[3,19]+[+1]
=4,19

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hi,

Integralbereich: e und 1
von
x*ln(x)*dx

Hier kann man ja super beide Verfahren anwenden. Wie das mit
der partiellen funktioniert weiß ich,aber bei der Subtitution
hackt es gerade bei mir:

subStitution.

Ich hätte bei der Aufgabe von Anfang an Subtitution gemacht.

Ich hätte das in 2 Integralen aufgeteilt:

du kannst die summe unter dem integral in die summe von 2 integralen auseinanderziehen. mit produkten funktioniert das nicht!

INT(x*lnx dx) ist nicht INT x dx * INT(ln x) dx
und auch nicht INT x dx + INT(ln x) dx

Integralbereich: e und 1
von
x*dx---->z=x z’=1 du=dx

so eine substitution brächte sowieso nix. das ist nur der austausch von variablen.

[…]
Was mache ich falsch? :frowning:

du summierst, wo es nix zu summieren gibt.
m.