Hi Leute?
Versuche schon länger eine Funktion zu integrieren, komme aber am Ende der Integration (f*G-Integral(f’*G))aber wieder auf deren Ausgangsform. Per Derive 5.0 kann ich zwar das richtige Resultat ermitteln doch die Einzelschritte werden übersprungen.Wer weiß Rat?
Funktion
F(t)=Integral(e^(-a*t)*cos(w*t))dt
Danke
Hi Leute?
Hallo Jürgen?
Versuche schon länger eine Funktion zu integrieren, komme aber
am Ende der Integration (f*G-Integral(f’*G))aber wieder auf
deren Ausgangsform.
So was gemeines aber auch 
Gesucht:
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Integral e^(-at) cos(wt) dt (\*)
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Lösung (im Folgenden sin(wt) =: s; cos(wt) =: c; e^(-at) =: e):
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Integral e c dt = [- 1/a e c] - Integral -1/a e (-s w) dt
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= - 1/a [e c] - w/a Integral e s dt (1)
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Behandlung des Integrals auf der rechten Seite mit PI --\>
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Integral e s dt = [- 1/a e s] - Integral -1/a e c w dt
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= - 1/a [e s] + w/a Integral e c dt (2)
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Scharfes Hingucken --\> Ganz am Schluß steht wieder das Ausgangsintegral!
(= nix shit, sondern geil!)
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(1) eingesetzt in (2) --\>
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I = - 1/a [e c] - w/a (- 1/a [e s] + w/a I)
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mit I := das gesuchte Integral (\*)
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Das wird jetzt einfach nach I aufgelöst.
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I = - 1/a [e c] + w/a^2 [e s] - w^2/a^2 I (3)
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Multiplikation von (3) mit a^2 --\>
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a^2 I = -a [e c] + w [e s] - w^2 I
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Addition von w^2 I --\>
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a^2 I + w^2 I = -a [e c] + w [e s]
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(a^2 + w^2) I = [e (w s - a c)]
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Division durch a^2 + w^2 (netterweise immer ungleich Null!) --\>
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I = [e (w s - a c)]/(a^2 + w^2)
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Ergebnis:
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(Eine) Stammfunktion zu
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f(x) = e^(-at) cos(wt)
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ist
~
e^(-at) (w sin(wt) - a cos(wt))
F(x) = ---------------------------------
a^2 + w^2
Alles klar?
Gruß
Martin
Hallo Martin, hallo Jürgen,
Das geht noch viel fixer:
I = Integral e^(-at) cos(wt) dt (*)
soll berechnet werden. Da aber gilt
cos(wt) = Re ( e^(iwt))
(Re als Realteil der Zahl im Argument), läßt sich der Integrand schreiben als
e^(-at) cos(wt)
= e^(-at) * Re ( e^(iwt))
= Re ( e^(-at) * e^(iwt))
= Re ( e^( (-a + iw)*t))
Damit ist
I = Re (Integral(e^((-a+iw)*t) dt)
= Re (1/(-a+iw) * e((-a+iw)*t))
= Re ((-a-iw)/((-a+iw)*(-a-iw) * e^((-a+iw)*t))
= Re ((-a-iw)/(a^2+w^2) * e((-a+iw)*t))
Dann mußt du noch die Exponentialfunktion zurückübersetzen in
e^((-a+iw)*t) = e^(-at) * (cos(wt) + i sin(wt))
und dann den Realteil ausrechnen.
Chris
Hallo Jürgen,
Das geht noch viel fixer:
I = Integral e^(-at) cos(wt) dt (*)
soll berechnet werden. Da aber gilt
cos(wt) = Re ( e^(iwt))
stimmt, das ist eine alternative Lösungsmöglichkeit. Man kommt zwar ohne PI aus, dafür sind Kenntnisse über komplexe Zahlen vonnöten. Vom Aufwand her dürften sich beide Methoden nicht viel nehmen. Ich gebe Dir aber recht, daß die Re(e^(i…))-Darstellung grundsätzlich schon vorteilhaft, elegant und „professionell“ ist.
Gruß
Martin
PS: Der Mathematica-Integrator (http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi) hat im Nenner der Lösung übrigens statt „a^2 + w^2“ das Produkt „(a+iw) (a-iw)“ stehen; woraus ich folgere, daß er nach Deiner Methode arbeitet. Mich wundert allerdings, daß er (a+iw) (a-iw) am Schluß nicht noch zu a^2 + w^2 vereinfacht.
Noch einfacher…
Man lerne das Fach Reglungstechnik für MB-Ingenieure, führe eine
Laplace-transformation aus, und kommt so auf das Ergebnis.
Für so „einfache“ Integrale kann man sowas noch per DGL lösen, mit komplizierteren Sachen haben wir sogar schonmal unseren Mathe-Prof gequält 
PS: Aus der Funktion e^(-at) cos(wt) dt kann man schon den Verlauf der Funktion erkennen, denn e^-(at) und cos(wt) sind standardfunktionen der Regelungstechnik und sind in jeder guten Formelsammlung zu finden
Gruß
Gley
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Hi Gleylancer,
…führe
eine Laplace-transformation aus, und kommt so auf das Ergebnis.
aha, und würdest Du uns diese Laplace-Transformation denn auch mal vorführen, damit wir auch sehen, wie das so vonstatten geht?
PS: Aus der Funktion e^(-at) cos(wt) dt kann man schon den
Verlauf der Funktion erkennen, denn e^-(at) und cos(wt) sind
standardfunktionen der Regelungstechnik und sind in jeder
guten Formelsammlung zu finden
Nicht nur der Regelungstechnik… Zu wissen, wie eine Funktion aussieht, erleichtert die Bestimmung ihrer Stammfunktion im allgemeinen allerdings nicht wesentlich.
Gruß
Martin
aha, und würdest Du uns diese Laplace-Transformation denn auch
mal vorführen, damit wir auch sehen, wie das so vonstatten
geht?
Also ich habe 5 Vorlesungen Regelungstechnik gehabt, bis ich wusste, wie ich sowas rechne (waren aber auch keine so einfachen Funktionen). Das ganze zu erklären würde zu lange dauern, aber generell verläuft das so, das man anstatt die DGL im Zeitbereich zu lösen, in den Bildbereich geht, rechnet, und das ganze wieder in den Zeitbereich transformiert (bei manchen DGL würde man sich sonst die Zähne dran ausbeissen, sofern sie überhaupt im zeitbereich lösbar sind).
Nicht nur der Regelungstechnik…
Funktion aussieht, erleichtert die Bestimmung ihrer
Stammfunktion im allgemeinen allerdings nicht wesentlich.
Ja, das stimmt schon. Aber in der Regelungstechnik muss man sich eben klar machen, was das System macht. Wenn es exponentiell gedämpft ist, dann braucht man vieles z.B. nicht mehr beachten.Bei keiner Dämpfung würde das System anfangen zu „schwingen“ (die Amplitude wird immmer weiter verstärkt), die Regelung wäre ausser Kontrolle. Sowas kann man sehr schön anhand der Null und Polstellen im Bildbereich sehen.
Dann gibt es noch so schöne Sachen wie die Dirac-Funktion, Faltungsintegrale etc.
Allerdings muss man schon Mathematik, Maschinenbau, E-Technik oder Physik studiert haben, um das alles nachvollziehen zu können.
Ach ja, die Funktion im Bildbereich lautet: s+a/(s+a)^2+omega-null^2
Aber ich denke, das dir das nicht viel sagen wird
Gruß
Gleylancer
Allerdings muss man schon Mathematik, Maschinenbau, E-Technik
oder Physik studiert haben, um das alles nachvollziehen zu
können.
AchDuje
Ach ja, die Funktion im Bildbereich lautet:
s+a/(s+a)^2+omega-null^2
Aber ich denke, das dir das nicht viel sagen wird
Du liegst falsch und ich warte immer noch auf Deine konkrete Demonstration, wie man per Laplace-Transformation eine Stammfunktion zu f(t) = e^(-at) cos(wt) finden kann. Du hast gesagt, daß das ganz leicht geht, bist den Beweis aber bis jetzt schuldig geblieben. Also sag jetzt bitte nicht mehr, wieviel Du studiert hast und wie expertenmäßig das alles ist, sondern rechne es vor. Wenn es also beispielsweise nötig ist, für s+a/((s+a)^2 + omega-null^2) eine PBZ zu machen, dann tu dies einfach, ja?
Gruß
Martin