Hallo!
Ich habe einen Text verfasst darüber was bei dem pascalischen
Dreieck soalles auffällt. Bevor ich in eine rKlausur etwas
schreibe was ich vielleicht falsch verstanden habe frage ich
mal leiber zuerst hier ob das auch richtig ist.
Ist ein wenig irritierend. Hier lese ich „Klausur“ aka Hochschule, in einer Antwort wird vom „Kusch“ geredet - wird der nicht in Schulen eingesetzt?
ich habe eine Frage:
warum ist a^0=1?
Das wurde gezeigt
Und wie kann ich Beweisen, das der Binomische Formel stimmt
(mit worten, habe dies anhand eines quadrates gezeichnet, kann
das aber irgendwie icht erläutern bzw in worte fassen)?
Beweisen, erläutern, Worte fassen?
Beweis ist einfach: ausmultiplizieren, dann hat man’s.
Erläutern, Worte fassen geht mit Rechtecken, Quadraten, Würfeln, Kubi. Aber bei (a+b)4 muss man sich schon kräftig anstrengen und den Zuhörer gut überzeugen können - ausmultiplizieren ist da einfacher, sowohl als Beweis wie auch zur Erklärung.
Pascalschen Dreiecks
Das Pascalsche Dreieck ist eine Matrix, ein Schlüsselkonzept
der linearen Algebra.
Algebra reicht
Mit dem Pascalschen Dreieck ist es möglich schnell beliebige
Potenzen vom ersten und zweiten Binom auszumultiplizieren.
(Der dritte geht nicht.)
Was sind binomische Formeln? In der Schule lernt man erste, zweite, dritte binomische Formel. Das hat zwar didaktische Vorteile zu dem Zeitpunkt, wenn man es einführt (man hat z.B. zu diesem Zeitpunkt noch nicht die Summenformel für die geometrische Reihe gelernt, das kommt erst 2 Jahre später), es ist aber ein Balast.
Es gibt nur EIN (in Zahlen: 1) Binom und das hat die Form
(a+b)n
Die zweite binomische „Formel“ ist gleich der ersten mit -b = +(-b):
(a-b)² = (a+(-b))² = a²+2a(-b)+b²
Und die dritte binomische „Formel“ ist die für die geometrische Reihe:
a + b = a*(1 + b/a) = a*(1 - b²/a²)/(1 - b/a) = (a² - b²)/(a - b)
[1 + q + q² + … + qn-1 = (1 - qn)/(1 - q)]
Den Ausdruck kann man sich so leicht merken, dass man dafür kein Schemata wie das Pascal’sche Dreieck benötigt:
(an-1 + an-2 b + … a bn-2 + bn-1) * (a - b) = (an - bn)
Die Koeffizienten, die man für das Binom mit dem Pascal’schen Dreieck bestimmt, sind in der dritten binomischen Formel immer 1 und -1.
Möchte man aber unbedingt ein Pascal’sches Dreieck dafür, dann sieht es so aus:
1
1 0 -1
1 0 0 -1
1 0 0 0 -1
(Gruß an Herrn Kusch.)
Bei der Anwendung des Pascalschen Dreiecks auf den zweiten
Binom, ist zu beachten, dass sich die Vorzeichen - und +
regelmäßig abwechseln, beginnend mit -, ansonsten aber mit dem
Dreiecks des ersten Binoms übereinstimmt.
Wie gesagt: Erstens ist es falsch, zweitens gibt es nur ein Binom.
Das Vorzeichen eines jeden Terms erhält man übrigens aus den Vorzeichen der beiden Nomen, also bei
(-5 + 2)³ ist der dritte Term 3*(-5)1*22
Wenn man es ausdrücken möchte: Hat ein Nom des Binoms ein explizites negatives Vorzeichen und tritt das Nom in ungerader Potenz auf ist der Term mit einem … es lohnt sich nicht.
In drei Wochen muss man (2 - i)5 ausrechnen. Die Vorschriften für das Vorzeichen füllen dann eine halbe Seite. Besser man berechnet (2 + (-i))5.
Gesetzmäßigkeiten des Pascalschen Dreiecks
- a Potenz wird um einen Exponent verringert
- b Potenz wird um einen Exponent erhöht
- Der Koeffizient der zweiten Potenz des aufgelösten Binoms,
ist immer identisch mit dem Exponenten des jeweiligen
zusammengefassten Binoms.
[(a+b)²=1a²+2ab+b², (a+b)³=1a³+3ab+b³]
- Bei den ungeraden (3, 5, 7, 9 usw.) Exponenten lassen sich
die Koeffizienten spiegeln und im mittleren Bereich
wiederholen sich zwei Koeffizienten. .
- Bei den geraden (2, 4, 6, 8, 10 usw.) Exponenten lassen
sich die Koeffizienten ebenfalls spiegeln, der mittlere teil
wiederholt sich allerdings nicht.
- Die Ergebnisse sind immer aus dem Bereich der natürlichen
Zahlen.
Vielen Dank im voraus!
LG Dawn