Ich habe in einem Artikel den Begriff „Peano’sche Axiomensystem“ gelesen (zu der Beweisführung, dass 1+1=2). Vielleicht kann mir nun noch jemand erklären, was ich mir darunter vorstellen soll.
Danke Alain
Axiomensysteme
Im Unterschied zum klassischen (philosophischen) Axiom als einer Aussage, die keinerlei Beweis nötig hat, legen Axiome in der Mathematik schlicht Beziehungen zwischen Elementen von Mengen fest. Bedingung ist, daß sich aus ihnen keine Aussagen logisch ableiten lassen, die zu ihnen selbst im Widerspruch stehen. Dasselbe gilt für Axiomensysteme, also Gruppen von axiomatischen Aussagen, aus denen keine Widersprüche folgen und die auch einander nicht widersprechen.
Speziell das Axiomensystem von Peano ist eine von mehreren Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu definieren. Außer den Axiomen P1 - P4 (wie in dem Artikel „1+1=2“ erwähnt) gehört noch das Axiom P5 dazu:
P5: Jede Menge M von natürlichen Zahlen, welche die 1 enthält und zu jeder Zahl a aus M auch deren Nachfolger a’, enthält alle natürlichen Zahlen.
Zum Begriff „Nachfolger“ siehe den erwähnten Artikel. Darin ist mir übrigens ein Fehler unterlaufen:
a’ = a + 1 folgt aus P3 (und nicht aus P1)
P5 ist zugleich das Prinzip der „vollständigen Induktion“, ein sehr nützliches Beweisverfahren: Wenn eine Formel für 1 richtig ist, und wenn ferner aus ihrer Richtigkeit für ein beliebiges a auch ihre Richtigkeit für a’ folgt, dann ist sie für ALLE a richtig.
Gruß
M.G.