Pendelaufgabe

[Daniel_9f15e4]

Hallo, ich sitz hier vor einer Klausuraufgabe, bei der mir ein paar Tips fehlen um sie lösen zu können! Ich möchte nur ein paar Tips z.B. mit welcher Formel ich vorgehen muss, brauche keine Rechnung!

Und zwar lautet die Aufgabe wie folgt:

Eine kleine Stahlkugel mit der Masse 50 g rutscht reibungsfrei eine
schiefe Bahn der Höhe h = 30 cm hinab und stößt auf eine Feder mit einer Federkonstante D = 10 N/m.

(a) Die Feder wird durch ein Pendel (l = 50 cm) ersetzt, dessen Pendelkörper aus Knete (M = 200 g) besteht. Also bleibt die Kugel darin
stecken. Um welchen Winkel wird das Pendel ausgelenkt?

Wie komme ich hier au die Geschwindigkeit bzw. den Hub des Pendels und schließlich zum Winkel? Bitte nur Formeln angeben!

© Jetzt soll die Kugel nicht mehr rutschen, sondern rollen. Um welchen
Winkel wird jetzt das Pendel ausgelenkt?

Wäre super wenn ich hier Tips bzw. Formeln zur Berechnung bekommen könnte!

lg Daniel

[TeaAge]

Rechne die Geschwindigkeit aus wenn die Kugel unten ankommt.
Mit dem Impulssatz kannst du dann den Impuls des Pendels (Kugel+Knete) errechnen.

Und damit dann maximale Pendel-(Ausschlags-)höhe also auch den Winkel.

Ich hoffe ich hab weder zuviel noch zuwenig verraten.

Gruß
TeaAge

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Daniel_9f15e4]

Hast du mir vielleicht die Formeln dafür? ich habe leider auf dem Gymi Chemie anstatt Physik gewählt und werde jetzt an der Uni wieder neu mit Physik konrontiert!!! Wäre sehr cool!

Danke schonmal für die Tips

lg Daniel

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[TeaAge]

Also, die Energieerhaltung gilt ja immer;

E_{ges}=E_{pot}+E_{kin}

mit E_{pot}=m*g*delta(h) und E_{kin}=1/2*m*v²
delta(h) ist die Höhendifferenz die die Kugel runter purzeln kann.
In dem Punkt wo du es los lässt, ist die Geschwindigkeit noch 0, die gesamte Energie liegt in der potentiellen Energie.
Zum Zeitpunkt kurz bevor die Kugel auf die Knete trifft, ist E_{pot}=0 … damit kannst du v (also die Geschwindigkeit) ausrechnen.

Jetzt müssen wir wissen mit welcher Geschwindigkeit Knete und Kugel nach dem Stoß los schwingen, das macht man mit dem Impulssatz Impuls vor dem Stoß gleich Impuls nach dem Stoß.
m_1*v_1=m_2*v_2

m_1 und v_1 kennen wir jetzt m_2 ist die Masse der Kugel und Knete, dann können wir v_2 ausrechnen.

Jetzt kann man wieder über die Energieerhaltung die neue Höhe errechnen.

Jetzt kann man über 3-Ecks-Beziehungen den Winkel ausrechnen.

Tut mir leid, das ich es hier nur so kurz erkläre, aber ich möchte auf keinen Fall zuviel erzählen, also frag ruhig wenn es hängt.

Gruß
TeaAge

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Daniel_9f15e4]

Hallo, TeaAge schonmal vielen Dank für deine Hilfe, so wie du den Energierhaltungssatz aufgestellt hast, habe ich es auch schon gemacht und komme aber bei der Errechnung der Geschwindigkeit nicht auf das richtige Ergebnis v = 2,43 m/s ! Vielleicht kannst du es einmal probieren, nach v aufgelöst sieht meine Formel so aus: v = Wurzel((2*(m+M)*g*h)/(m)) was mache ich falsch?

lg Daniel

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Martin]

Hallo,

Also, die Energieerhaltung gilt ja immer;

E_{ges}=E_{pot}+E_{kin}

kleiner Einspruch: das ist nur die (banale) Definition von E_ges.

Der Energieerhaltungssatz lautet in Kurzform

E_pot + E_kin= const falls nur konservative Kräfte am Werk sind.

Gruß
Martin

[TeaAge]

1/2*m*v²=m*g*h

v₁=Wurzel(2*g*h₁)
m₁*v₁=m₂*v₂
v₂=m₁/m₂*v₁

m₁ ist die Masse der Kugel
m₂=m_Kugel+m_Knete ist die Masse der Kugel und die Masse der Knete

Jetzt kann man die kinetische Energie errechnen und damit auch die Potentielle-Energie bzw. direkt die maximale Höhe des Ausschlags des Pendels.

1/2*v₂²/g=h₂

Werte kann ich dir leider nicht ausrechnen … ich hab ja keine Anfangswerte

Gruß

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Hupe_5c7f8e]

Doch, natürlich hast du die Werte, Daniel hat sie am Anfang ja geschrieben. Und wenn man die einsetzt kommt auch 2,43 m/s heruas.
Also Daniel, du musst die Wurzel aus 2*9,87m/s²*0,3m ausrechnen. Die ist 2,43m/s. Die Formel dazu (v_1 = wurzel aus 2*g*h) hat TeaAge oben hergeleitet. Was du falsch gemacht hast, ist dass bei dir die beiden Mass vorkommen. Dieses v_1 ist die Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar bevor sie auf die Knete trifft. Und für die Beschleunigung der Kugel war einzig und allein ihr Gewicht (und damit ihre Masse) von Bedeutung. Jetzt haben wir also nur ein Zwischenergebnis. Als nächstes müssen wir die Geschwindigkeit v_2 ausrechnen, die das Gebilde aus Kugel und Knete unmittelbar nachdem sich diese beiden Massen durch den vollkommen unelastischen Stoß zu einer vereinigt haben. Das geht über den Impulserhaltungssatz.
m_1*v_1 = m_2*v_2, wobei m_1 die Masse der Kugel und m_2 die Summe aus den beiden Massen ist.
Nun geht es so ähnlich weiter wie vorhin: Die kinetische Energie, die das, was unten am Pendel hängt, hat, wird komplett umgewandelt in potentielle Energie. So kommst du auf h_2.
Wenn du h_2 hast, hast du durch Trigonometrie auch den gesuchten Winkel, weil du die Pendellänge ja auch hast.

[Daniel_9f15e4]

Hi, danke für eure Mühe, ich kapier nur nicht, wieso ich als Masse nur die der Kugel die von der schiefen Ebene herunterrollt berücksichtige und nicht die Masse der Knetkugel (m + M)?

was denke ich falsch?

lg Daniel und vielen vielen Dank für eure Mühe

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Hupe_5c7f8e]

Weil nur die Kugel, nicht aber die Knetkugel die schiefe Ebene herunterrollt. Der erste Zwischenschritt ist, die Geschwindigkeit auszurechnen, die die Kugel hat - unmittelbar bevor (!) sie auf die Knete trifft - hat. Das ist v_1.
Erst wenn sie auf die Knete trifft, wird deren Masse auch noch berücksichtigt. Und zwar im Impulserhaltungssatz: v_1*M = v_2*(m+M).
Wie du siehst, mussten wir v_1 ausrechnen, damit wir auf v_2 kommen.

[TeaAge]

Hi, danke für eure Mühe, ich kapier nur nicht, wieso ich als
Masse nur die der Kugel die von der schiefen Ebene
herunterrollt berücksichtige und nicht die Masse der Knetkugel
(m + M)?

was denke ich falsch?

Du kannst auch anders an die Sache ran gehen, wenn dir die Energieerhaltung hier zu verwirrend ist:

Du Kugel liegt in 50cm höhe.
Wir können jetzt über den „freien Fall“ ausrechnen wie schnell die Kugel ist, wenn sie untern ankommt:
Die Beschleunigung (die Erdbeschleunigung) ist konstant ‚g‘
Die Geschwindigkeit ist damit v=g*t
Und der Weg ergibt sich dann zu h=1/2*g*t²
Den Weg noch nach der Zeit umstellen, dann bekommen wir:
t=Wurzel(2*h/g)
Das in die Geschwindigkeit eingesetzt:

v=g*t=g*Wurzel(2*h/g)=Wurzel(2*g*h) … das kommt uns doch bekannt vor oder?

Noch ein paar Worte zum Impulssatz (oder Impulserhaltung)
Der Impuls ist definiert als m*v
Die Summer der Impulse nach dem Stoß muss gleich der Summe vor dem Stoß sein, also:

m_Kugel*v_Kugel,1+m_Knete*v_Knete,1=m_Kugel*v_Kugel,2 +m_Knete*v_Knete,2 (1)

Wobei der Index 1 - vor dem Stoß heißen soll und 2 - nach dem Stoß

v_Knete,1 ist ja 0 … es ist ja vor dem Stoß, also warum sollte sich die Masse bewegen?
Weil die Knete eben aus Knete ist, hängt Knete und Kugel nach dem Stoß zusammen … mathematisch ausgedrückt, sie haben die gleiche Geschwindigkeit v<sub>Knete,2=vKugel,2=v2

Dann lässt sich der Impulssatz (1) so vereinfachen:
mKugel,vvKugel,v=v2(mKugel+mKnete) (2)

Also, woher kommt die Geschwindigkeit?
Die Kugel wird von der Erdanziehung beschleunigt und hat dann nach 50cm eben eine Geschwindigkeit von 2,4 m/s (oder so).

Gruß
TeaAge</sub>

[Cassius]

Da war doch noch was
nämlich die Aufgabe c), in der die Kugel nicht rutscht, sondern rollt.

Hallo TeaAge,

der Ansatz mit dem Energieerhaltungssatz ist natürlich richtig, und bei einem plastischen Stoß auf die Knete *grins* kommt leicht ein Ergebnis raus.
Wenn die Kugel nun rollt, geht ein Teil der potentiellen Energie in die Rotation der Kugel mit der Folge, daß die Auftreffgeschwindigkeit auf die Knete kleiner ist als beim Rutschen. Die Kugel gibt ihre in der Rotation steckende Energie aber nicht über den plastischen Stoß in eine Translationsbewegung der Knete ab. Wenn Du mich fragst, landet die in Reibung un damit in Erwärmung des Systems.
Die Auslenkung des Pendels wäre dann geringer.

Sehe ich da was falsch?

Gruß
Cassius

[TeaAge]

Stimmt, da hast du Recht.
Da bin ich aber überfragt …

Gruß
TeaAge

der Ansatz mit dem Energieerhaltungssatz ist natürlich
richtig, und bei einem plastischen Stoß auf die Knete *grins*
kommt leicht ein Ergebnis raus.
Wenn die Kugel nun rollt, geht ein Teil der potentiellen
Energie in die Rotation der Kugel mit der Folge, daß die
Auftreffgeschwindigkeit auf die Knete kleiner ist als beim
Rutschen. Die Kugel gibt ihre in der Rotation steckende
Energie aber nicht über den plastischen Stoß in eine
Translationsbewegung der Knete ab. Wenn Du mich fragst, landet
die in Reibung un damit in Erwärmung des Systems.
Die Auslenkung des Pendels wäre dann geringer.

[Cassius]

Hallo TeaAge,

Stimmt, da hast du Recht.
Da bin ich aber überfragt …

Das geht auch über das hinaus, was man von einem Schüler (Daniel) verlangen kann.
Zur Lösung brauchte man noch einige Randbedingungen wie z.B. die Geometrie der Kugel resp. das Massenträgheitsmoment aus der Massenverteilung.
Und dann hast du eine wunderschöne Differentialgleichung am Hals, deren Aufstellung oder gar Lösung ich aber auch nicht mehr drauf habe (liegt bei mir über 40 Jahre zurück).

Gru
Cassius

[Daniel_9f15e4]

Ok, bis hierhin hab ich jetzt auch alles verstanden und konnte es so auch umsetzen, schonmal vielen Dank dafür! Jetzt heißt es im weiteren Teil, dass die Kugel nicht mehr rutschen, sondern rollen soll. Um welchen Winkel wird jetzt das Pendel ausgelenkt?

Aber irgednwie fehlt hier die Angabe des Radius der Kugel kann das sein? oder kann man es auch anders berechnen?

lg Daniel

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Cassius]

Schau mal weiter oben owT
.

[Martin]

Hallo,

Aber irgednwie fehlt hier die Angabe des Radius der Kugel kann das sein?

Monsieur, wenn da der Radius fehlt, ist es Deine Aufgabe, zu prüfen, ob das sein kann – sprich, ob der Radius der rollenden Kugel für ihre Geschwindigkeit am unteren Ende der Bahn möglicherweise gar keine Rolle spielt.

Außerdem ist es so, wie hier schon angesprochen wurde: der rotatorische Anteil der kinetischen Energie der Kugel geht natürlich nicht in die Impulsbilanz beim Stoß mit der Knete ein, sondern wird dissipiert (andernfalls gäbe es auch nichts zu rechnen, denn dann könnte man sofort sagen, dass es für die Pendelauslenkung keinen Unterschied macht, ob die Kugel rutscht oder rollt, weil die gesamte kinetische Energie (rot + trans) ja in beiden Fällen gleich ist, nämlich gleich m g h).

Gruß
Martin

[Daniel_9f15e4]

Hi,

ja ich würde den EES so aufstellen:

m*g*h = 1/2m v^2 + 1/2Jw^2

und um J zu berechnen brauche ich J = 2/5mr^2 und für w(omega) = v/r ???

oder gibt es eine andere Möglichkeit?

lg Daniel

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Martin]

ja ich würde den EES so aufstellen:

m*g*h = 1/2m v^2 + 1/2Jw^2

und um J zu berechnen brauche ich J = 2/5mr^2 und für w(omega)
= v/r ???

Si, Señor.

m g h = 1/2 m v^2 + 1/2 J w^2 ist der Energiesatz.

J = 2/5 m r^2 ist das Trägheitmoment einer Kugel (mit Achse durch Mittelpunkt).

v = ω r ist die Zwangsbedingung der Kugel-Rollbewegung.

Damit ergibt sich das Gewünschte in einer Zeile. Ist Dir das zu kompliziert?

oder gibt es eine andere Möglichkeit?

Nicht dass ich wüsste.

Martin

[Daniel_9f15e4]

Nein zu kompliziert ist mir das nicht, aber mir fehlt die Angabe für den Radius der Kugel? wenn du die Aufgabe in meinem erste posting liest, wirst du sehen, dass hier noch irgendeine Angabe fehlt oder täusche ich mich da?

lg Daniel

MOD: TOFU-Zitat entfernt.