Fangen wir von vorne an: Ich habe kürzlich mir Definitionsschreibweisen mit Intervallen angeschaut. Das Intervall [0;1) bedeutet, dass Zahlen von 0-1 definiert sind, 0 dazugehört, 1 aber nicht. Danach habe ich mir die Frage gestellt, ob es nicht eine Zahl gäbe, die die nähste Zahl an 1 ist. Spontan fiel mir die Zahl
0,(periode)9 ein; die ist kleiner als 1 aber es gibt keine größere Zahl im Intervall, die näher an 1 ist (oder?). Ich wollte es rechnerisch nachgehen.
Also beschrieb ich es mit der Funktion f(x)=1-1/x Nach meiner Aufgabe müsste der Term 1/x möglichst klein gehalten werden, also müsste x=+unendlich sein: f(unendlich)=1-1/unendlich . Nach diesem Term würde es keine Lösung geben; aber man weiß, dass 0,(periode)9 die Lösung sein sollte. Im Umkehrschluss bedeutet dies:
0,(periode)9= 1-1/unendlich.
Und dass bedeutet, dass 0,(periode)9 keine Zahl ist, obwohl sie zu den Rationalen Zahlen gehört.
Habe ich jetzt einen Denkfehler?? Und gibt es überhaut eine Zahl, die die nähste Zahl an 1 ist?
PS: Wenn mein Beispiel (0;1] gewesen wäre, hätte es keine Probleme gegeben, da man 0 beliebig annähern kann (Grenzwert)und es keine Zahl gibt, die dies beschreibt.
Spontan fiel mir die Zahl
0,(periode)9 ein; die ist kleiner als 1 aber es gibt keine
größere Zahl im Intervall, die näher an 1 ist (oder?).
0,(periode)9 ist nicht kleiner als 1, sondern gleich 1.
Denn:
0,(periode)3 ist genau gleich 1/3.
3 * (1/3) = 1
3 * 0,(periode)3 = 0,(periode)9
PS: Wenn mein Beispiel (0;1] gewesen wäre, hätte es keine
Probleme gegeben, da man 0 beliebig annähern kann
(Grenzwert)und es keine Zahl gibt, die dies beschreibt.
Das gilt auch für jede andere Zahl und Dein Ansatz f(x)=1 - 1/x war auch gar nicht schlecht. Allerdings hast Du damit nicht gezeigt dass „0,(periode)9“ keine Zahl ist, sondern dass sie nicht die absolut größte Zahl des Intervalls ist. (Eine solche Zahl gibt es nämlich nicht. Die Mathematiker sagen: Für jedes epsilon > 0 existiert ein x: (1-x)
Danach habe ich mir die Frage gestellt, ob es nicht eine Zahl
gäbe, die die nähste Zahl an 1 ist.
gäbe es so eine Zahl x, so läge der Mittelwert zwischen x und 1 noch näher an 1.
Spontan fiel mir die Zahl
0,(periode)9 ein; die ist kleiner als 1 aber es gibt keine
größere Zahl im Intervall, die näher an 1 ist (oder?).
Nein, sie ist nicht kleiner als 1 und liegt daher nicht in dem Intervall; ja, es gibt keine Zahl die näher an 1 liegt, da 0,p9 = 1.
Ein Dezimalbruch ist die Kurzschreibweise für eine (unendliche) Reihe [Optimath-fedgeo-Syntax: http://fed.matheplanet.com/mpr.php]
0,a_1|a_2|a_3… = summe(a_k/10^k,k=1,\infty)
und die unendliche Reihe mit a_i=9 hat den Wert 1.
Ein Dezimalbruch ist die Kurzschreibweise für eine
(unendliche) Reihe [Optimath-fedgeo-Syntax:
0,a_1|a_2|a_3… = summe(a_k/10^k,k=1,\infty)
und die unendliche Reihe mit a_i=9 hat den Wert 1.