das lernt gerade meine Tochter in der 6.Klasse in Mathe. Dabei soll zum Beispiel die Zahl 1,2 periodisch (ich kann jetzt den Strich über die 2 nicht darstellen) in einen Bruch verwandelt werden. Soweit ich verstanden habe wird daraus 1 + 2/9 (zwei neuntel).
Meine Frage, wie kann ich meiner Tochter erklären, warum bei der Verwandlung der Dezimalzahl ein Neuntel im Nenner stehen muss, warum wird das so gemacht? Nachgerechnet stimmt es, aber ich kann es mathematisch/logisch nicht nachvollziehen.
ich würde es umgekehrt machen, und Deine Tochter einfach mal die Zahlen von 1 bis 8 durch 9 teilen lassen. So richtig zu Fuß, ohne Taschenrechner natürlich. Dann sieht sie recht schnell, wie so eine Periodizität zustande kommt.
Es gibt einen recht einleuchtenden Mechanismus, wie sich periodische Dezimalbrüche in „normale“ Brüche verwandelt werden können.
Wir schreiben erstmal eine Gleichung hin:
x = 0,22222222…
Das ist einfach die Zahl selber. Nun multiplizieren wir die Zahl mit 10:
10x = 2,22222222…
Die Periode bleibt immer noch genauso wie vorher, schließlich habe ich unendlich viele Zweier hinter dem Komma, wenn ich also eine davon vor das Komma ziehe, spielt das keine Rolle. die beiden Gleichungen kann ich voneinander subtrahieren (also linke Seite minus linke Seite, rechte minus rechte):
10x - x = 2,2222222… - 0,2222222…
9x = 2
Du siehst: Die Periode ist verschwunden. Danach kann man einfach durch 9 teilen und der Bruch steht da:
x = 2/9
Anhand dieses einfachen Beispiels kann man sich jetzt ein Kochrezept zur Umwandlung beliebiger periodischer Brüche in „normale“ Brüche überlegen:
Der Nenner ist immer 9999…0000… mit sovielen Neunern wie die Periode Stellen hat, und sovielen Nullern wie Nachkommastellen vor der Periode auftreten. Also ist z.B. der Nenner von 0,72838383838383… 9900, weil die Periode (83) zwei Stellen hat und außerdem noch zwei Nachkommastellen (72) vor der Periode auftreten.
Der Zähler ist einfach die Zahl bis nach der ersten Periode (also hier 7283) minus der zwei nichtperiodischen Nachkommastellen (hier 72) - ergo ist der Zähler in unserem Beispiel 7283 - 72 = 7211.
Insgesamt also: 0,72838383838383… = 7211/9900.
Eventuell lassen sich die so erhaltenen Brüche noch kürzen - hier geht’s halt gerade nicht.
Ich hoffe, damit könnt Ihr was anfangen.
ciao Christoph C>[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
