Periodische Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Experten,

ich muss leider schon wieder hier anklopfen. Ich beschäftige mich mit periodischen Funktionen und ich wollte folgendes zeigen:

(1)f_{(x)}=f_{(x+P)}

(2)f_{(ax)}=f_{(ax+P)}

(3)f_{(ax)}=f_{(a\cdot(x+\frac{P}{a}))}

Meine Behauptung:
Damit ist gezeigt ist dass die Periodendauer von (3) nun P/a ist.

Ist diese Behauptung für alle periodischen Funktionen richtig?

Ich kenne als periodische Funktionen nur Sin, Cos, Tan und an denen stimmt sie ja.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Liebe Grüsse Andrea

#2

(3)f_{(ax)}=f_{(a\cdot(x+\frac{P}{a}))}

Meine Behauptung:

Damit ist gezeigt ist dass die Periodendauer von (3) nun P/a
ist.

Ist diese Behauptung für alle periodischen Funktionen
richtig?

Hallo Andrea,

die Behauptung ist in der Tat für alle Funktionen richtig, mal abgesehen von irgendwelchen eventuellen Lücken im Definitionsbereich.

Grüße!

hendrik

#3

Ich beschäftige
mich mit periodischen Funktionen

Ich kenne als periodische Funktionen nur Sin, Cos, Tan

Zunächst einmal gibt es da noch andere Winkelfunktionen:
\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}
\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}
\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}

Secans, Cosecans und Cotangens (auch mit K)

Dann kannst du auch einfach eine beliebige Funktion auf einem bestimmten Intervall definieren (ich glaube, ein halboffenes wäre am besten) und diese periodisch auf \mathbb R fortsetzen.

Weitere periodische Funktionen kann man sich mit der Entier-Funktion basteln:
f_1(x) = x - [x]

Du kannst auch mal bei einem entsprechenden Programm den Graphen dieser Funktion zeichnen lassen:
sqrt(1 - (4 (abs(x / 4 - floor(x / 4) - 0.5) - 0.25))^2) sgn(4 sgn(x / 4 - floor(x / 4) - 0.5) (1 / 4 - floor(x / 4)))

Hat bei mir aber auch nur mit GeoGebra funktioniert, das Programm kann ich aber auch empfehlen.

mfg,
Ché Netzer

(kann man konstante Funktionen eigentlich als periodisch bezeichnen?)

#4

Hallo,

Vielen Dank für eure Antworen, sie haben mir sehr geholfen. Eine kleine Frage hätte
ich aber noch und zwar folgende:
Wären diese Umformungen schon als Beweis tauglich, oder
müsste ich da noch was Zusätzliches berücksichtigen.

Grundsätzlich möchte ich ja zeigen, dass P/a eine Periode von f(ax)ist.

(2)f_{(ax)}=f_{(ax+P)} :
(3)f_{(ax)}=f_{(a\cdot(x+\frac{P}{a}))}

Durch diese Umformungen, wende ich f ja zweimal auf einen äquivalenten Term an.

a\cdot(x+\frac{P}{a})\equiv a\cdot x +P

Macht man hier dennoch eine Aussage über die Periode von f(ax)?

Hier ist was ich nicht ganz verstehe:
P wird zwar durch a dividiert, bevor man aber die Funktion auf den Term anwendet, multipliziert man P ja wieder mit a, wodurch P schlussendlich gleich bleibt.

Kann mir jemand einen Tipp geben wie man die Aussage über die Periode von f(ax) beweisen kann?

Vielen, vielen Dank
Andrea

#5

Hallo,

Grundsätzlich möchte ich ja zeigen, dass P/a eine Periode von f(ax)ist.

Du möchtest die Äquivalenz

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
f(x) ist P-periodisch f(ax) ist P/a-periodisch ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

zeigen. Wovon Du Dich hier nicht durcheinanderbringen lassen darfst, ist der Umstand, dass f(x) und f(ax) zwar mit demselben Symbol „f“ bezeichnet werden, aber zwei unterschiedliche Funktionen sind. Besser wäre vielleicht gewesen, die Aufgabe unter Verwendung eines zusätzlichen Symbols „g“ für die „neue“ Funktion zu formulieren – Vorschlag:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Die Funktion g gehe aus der Funktion f durch Stauchung
um den Faktor a in x-Richtung hervor.
Zeigen Sie: f ist P-periodisch g ist P/a-periodisch.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

So kommt die Verschiedenhaftigkeit der beiden Funktionen deutlicher zum Ausdruck.

Den Beweis hast Du ja schon geführt. Mit g sieht er so aus:

\begin{eqnarray}
\textnormal{$f$ ist $P$-periodisch}
& \Leftrightarrow &
f(x+P) = f(x) \nonumber\
& \Leftrightarrow &
f(x) = f(x+P) \nonumber\
& \Leftrightarrow &
f(ax) = f(ax+P) \nonumber\
& \Leftrightarrow &
f(ax) = f\Big(a\Big(x+\frac{P}{a}\Big)\Big) \nonumber\
& \stackrel{*}{\Leftrightarrow} &
g(x) = g\Big(x+\frac{P}{a}\Big) \nonumber\
& \Leftrightarrow &
\textnormal{$g$ ist $P/a$-periodisch} \nonumber
\end{eqnarray}

Dabei ist der erste und letzte Äquivalenzpfeil durch die Definition der Periode begründet, und der mit dem Stern durch die Definition von g, denn „g geht aus f durch Stauchung um den Faktor a in x-Richtung hervor“ bedeutet g(x) = f(ax).

So finde ich es viel klarer, und jetzt kann man sich immer noch überlegen, wie sich die Chose ohne g darstellen würde. Die nötigen Änderungen wären rein formaler Natur: Vorletzte Zeile entfernen, das f in der ersten Zeile durch f(x) ersetzen, und das g in der letzten Zeile durch f(ax).

Macht man hier dennoch eine Aussage über die Periode von f(ax)?

Ja, natürlich.

P wird zwar durch a dividiert, bevor man aber die Funktion auf den
Term anwendet, multipliziert man P ja wieder mit a […]

Nein, diese Multiplikation mit a darfst Du nicht mehr zählen, weil sie sozusagen Bestandteil der g-Definition ist (g(x) = f(ax)). Die Aussage, auf der Beweis abzielt, betrifft ja die Periodizität von g.

Ich hoffe nur, Dich nicht noch mehr verwirrt zu haben.

Gruß
Martin

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#6

Hallo Martin,

Vielen, vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Die unterschiedliche Bezeichnung der Funktionen hat mir die Augen geöffnet.

Ich hoffe nur, Dich nicht noch mehr verwirrt zu haben.

Nein jetzt ist alles klar, dafür gibts ein Sternchen. Dieses gute Gefühl wenn man etwas verstanden hat - wunderbar.

Vielen Dank nochmals!

Liebe Grüsse
Andrea