Hallo,
1/3 jedoch gibt es exakt an. „exakter“ als 0,[p]3…
nein. 1/3 ist nur exakter als beispielsweise 0.333, und exakter als 0.333333333, und sogar exakter als jeder endliche Dezimalbruch der Form 0.3…3 mit beliebig vielen, aber endlich vielen Nachkomma-Dreien. 1/3 ist aber nicht exakter als 0.¯3, sondern damit identisch. Es sind zwei verschiedene Symbole für ein- und denselben Punkt auf dem reellen Zahlenstrahl („ein Drittel“ und „222/666“ wären zwei weitere).
Nochmal: 0.¯3 bezeichnet definitionsgemäß den Konvergenzpunkt der unendlichen Folge 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333, 0.333333… Dieser Konvergenzpunkt ist eindeutig bestimmt und hat den Wert 1/3. Deshalb ist 0.¯3 = 1/3.
Man darf nicht den Fehler machen, sich 0.¯3 (oder 0.¯9) irgendwie als „Prozess“ vorzustellen, so im Sinne einer vor sich hin tickenden Additionsmaschine, die gefangen in einer Endlosschleife immer kleiner werdende Summanden (0.3, 0.03, 0.003, 0.0003…) zusammenzählt, ohne jemals bei 1/3 anzukommen. 0.¯3 drückt keinen Vorgang aus, sondern ist als Grenzwert einer Folge eine einzelne, wohlbestimmte Zahl, nämlich 1/3.
Der exakte Beweis für 0.¯9 = 1 sieht in voller Größe so aus:
(1) Hilfssatz (ein zentraler Satz der Analysis):
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Aus x ≥ 0 und x 0 folgt x = 0. [
]
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Beweis: Die Annahme „…folgt x > 0“ führt zu einem Widerspruch, denn dann könnte man z. B. ε = x/2 wählen, woraus x 0 eine falsche Aussage, und das ist er schon, der Widerspruch. Ergebnis: [] stimmt.
(2) Der eigentliche Beweis:
0.¯9 > 0.9 ⇒ 1 – 0.¯9 0.99 ⇒ 1 – 0.¯9 0.999 ⇒ 1 – 0.¯9 0.9999 ⇒ 1 – 0.¯9 0
Damit erfüllt 1 – 0.¯9 aber gerade die Voraussetzungen von [] und das bedeutet:
⇒ 1 – 0.¯9 = 0
⇒ 0.¯9 = 1
Die Nicht-Eindeutigkeit der Zahlendarstellung z. B. von 1 mag man zwar als „unästhetisch“ empfinden, aber darauf nimmt die Mathematik offensichtlich keine Rücksicht. Diese „Unschönheit“ ist übrigens in allen Stellenwertsystemen gegenwärtig, nicht nur in jenem zur Basis 10 (ich nehme an, Du weißt, dass es auch Zahlensysteme mit anderen Basen gibt, von denen eins – nämlich das zur Basis 2 – sogar enorme technische Bedeutung hat). Es kommt aber noch besser. Man kann Stellenwertsysteme konstruieren, deren Basen keine natürlichen, sondern irrationale Zahlen sind! Das funktioniert tatsächlich. Eine ganz besondere Basis für diesen Zweck ist dabei die Zahl (√5 + 1)/2 ≈ 1.618033… Sie ist auch als die „Goldene Schnitt“-Zahl bekannt und wird mit φ bezeichnet. φ zeichnet sich durch eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften aus, z. B. ist sie die einzige positive Zahl, die man quadrieren kann, indem man 1 dazuaddiert: φ2 = φ + 1. Bei dem Stellenwertsystem mit φ als Basis verhält es sich nun so, dass manche Zahlen – darunter die 1 – nicht nur zwei, sondern unendlich viele Darstellungen (genauer: zwei Darstellungen in der „Standard-Form“ und unendlich viele weitere in der „Nicht-Standard-Form“) besitzen. Da haben wirs im Zehnersystem also noch vergleichsweise übersichtlich und sollten zufrieden sein 
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In diesen beiden Wikipedia-Artikeln findest Du mehr dazu (der zweite ist englisch; deutsche Übersetzung gibt es leider nicht):
http://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_mean_base
Gruß und noch 1.¯9 schöne WE-Tage
Martin
