Perpetuum Mobile

Hallo Leute,
diesmal keine Denksportaufgabe, sondern eine echte Frage zu dem Thema ART.
Folgende Versuchsanordnung:
In einem Turm der Höhe h befindet sich, senkrecht stehend, eine reibungfrei gelagerte Welle. An der Welle befindet sich ein Hebel der Länge l1, an dem eine Kraft F1 zieht. Auf die Welle wirkt also ein Drehmoment M1 = F1 * l1. Pro Umdrehung wird dann die Energie W1 = 2 * P i * l1 * F1 auf die Welle und zur Turmspitze übertragen.
In der Turmspitze befindet sich auf der Welle ein Generator, der diese Energie W2 = 2 * Pi * M2 , wie auch immer, in Masse umwandelt. Da kein äußeres Drehmoment wirkt, muß gelten M1 = M2. Bei einer Umdrehung am Boden muß die Welle auch eine Umdrehung auf der Turmspitze machen, selbst wenn sie elastisch ist. Das muß so sein, weil ich den Versuch unendlich oft wiederholen könnte und sich die Welle dann verwinden und brechen würde, wenn es pro Umdrehung eine Differenz zwischen oben und unten gäbe.
D.h. auf der Turmspitze kommt pro Umdrehung die Energie W2 = W1 = 2 * Pi * M1 an. Diese Energie wird in die Masse m = W1 / c2 umgewandelt. Die Masse m fällt dann vom Turm und besitzt unten dann die Gesamtenergie m c2 + m * g * h > W1 !!!
Die Frage ist also, wo kommt die zusätzliche Energie her, bzw. wo geht sie vorher „verloren“ ?
Klar ist eigentlich, das W1 > W2 sein muß, damit es nachher wieder stimmt. Wie läßt sich diese Differenz erklären ? An der Anzahl der Umdrehungen läßt sich wohl nichts deuteln, bleibt also nur noch das Drehmoment, oder ?

fragt sich Jörg

Anzahl der Umdrehungen läßt sich wohl nichts deuteln

Bist Du sicher? Immerhin läuft die Zeit am Fuß des Turmes etwas anders, als an seiner Spitze.

Anzahl der Umdrehungen läßt sich wohl nichts deuteln

Bist Du sicher? Immerhin läuft die Zeit am Fuß des Turmes
etwas anders, als an seiner Spitze.

eigentlich schon, denn ich rechne ja mit Energie pro Umdrehung. Eine Umdrehung sind 360° bzw. 2Pi und da geht die Zeit in keiner Weise ein. Selbst wenn eine gewisse Torsion der Welle bei einzelnen Umdrehungen möglich ist, langfristig führen n Umdrehungen unten immer zu n Umdrehungen an der Turmspitze. Natürlich ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit oben etwas niedriger als unten. Die Versuchsanordnung war bewußt so angelegt, daß die Zeit keinen Einfluß auf die Energiewerte hat.

Jörg

Natürlich ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit
oben etwas niedriger als unten.

Genau das meinte ich. Da auch die Rotationsenergie mit der Winkelgeschwindigkeit abnimmt, ist dies auch gleichzeitig die Antwort auf Deine Frage.

Elastizität
Ich sehe zwei Haken:

  1. die Masse-Energie, in die der Generator die Rotationsenergie verwandelt, rührt ja von ebendieser her und muß daher von ihr subtrahiert werden (auch angenommen die Verwandlung wäre verlustlos möglich, was aber an deiner Überlegung ja nichts grundsätzliches ändern würde). Es geht also oben Drehmoment verloren, und das muß von unten nachgeliefert werden.

Bei einer einmalig erzeugten Masse wäre die Überlegung eh hinfällig. Dann käme die Energie, die du unten reinsteckst, einfach in Form einer fallenden Masse unten wieder zurück - und Ende. Dies wäre aber ebenfalls nicht verlustlos, denn:

Selbst wenn eine gewisse Torsion der
Welle bei einzelnen Umdrehungen möglich ist, langfristig
führen n Umdrehungen unten immer zu n Umdrehungen an der
Turmspitze.

Bei einem endlich elastischen Material ist genau das eben nicht der Fall, die Welle würde sich immer weiter verdrillen (gerade, wenn sie nicht bricht). Verdrillung bedeutet aber Energieverlust: die Welle erwärmt sich. Würde sie nämlich mit der Verdrillung aufhören, hättest du in dem Augenblick einen absolut elastischen Körper, was mit absolut inkompressibel (= undeformierbar) identisch wäre. Und von solchem Material geht deine Überlegung eh aus (auch ohne Verdrillung). Denn nur dann wäre verlustloser Energietransport von unten nach oben möglich. Aber diese Annahme ist identisch mit der Annahme von Fernwirkung - und Fernwirkungen gibt es nicht.

Es ist also eine Material-Idealisierung in deiner Überlegung, die die Idee der Fernwirkung beinhaltet. Dasselbe Argument hatten wir schonmal bei einer Idee, die Uwe Rill postete. Siehe hier (und meine Antwort darauf):

http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…

Gruß
Metapher

nein, die Bemerkung mit der Winkelgeschwindigkeit war nur nebenbei. Die Rotationsenergie hat in diesem Fall nichts mit der Winkelgeschwindigkeit zu tun. Die Winkelgeschwindigkeit kann beliebig niedrig sein, z.B. 1 Umdrehung in 1 millionen Jahren. Pro Umdrehung wird immer die Energie W = 2 * Pi * M auf die Welle übertragen. Die Energie wird ausschließlich über das Kraft-Weg-Produkt definiert.

Jörg

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Hallo Methapher

  1. die Masse-Energie, in die der Generator die
    Rotationsenergie verwandelt, rührt ja von ebendieser her und
    muß daher von ihr subtrahiert werden (auch angenommen die
    Verwandlung wäre verlustlos möglich, was aber an deiner
    Überlegung ja nichts grundsätzliches ändern würde). Es geht
    also oben Drehmoment verloren, und das muß von unten
    nachgeliefert werden.

Um Fehler durch irgendwelche dynamisch bedingten Energieverluste auszuschließen, lasse ich die Welle sehr langsam mit konstanter Winkelgeschwindigkeit laufen und ich fange z.B. erst bei der 100.000-sten Umdrehung an zu messen. Ich habe dann einen quasistationären bzw. quasistatischen Zustand. D.h. es hat sich ein Gleichgewicht eingestellt zwischen dem konstanten Drehmoment M und dem Rückstellmoment der elastischen und geringfügig und konstant verdrillten Welle.

In diesem Zustand habe ich keine Verluste mehr durch Massenbeschleunigung oder Verformung. Mit jeder weiteren Umdrehung führe ich der Welle die Energie W = 2 * Pi * M zu. Da sich die Welle jetzt weder verformt noch ihren Bewegungszustand ändert, kann die Energie ohne weitere Verluste auf die Turmspitze übertragen werden

Bei einer einmalig erzeugten Masse wäre die Überlegung eh
hinfällig. Dann käme die Energie, die du unten reinsteckst,
einfach in Form einer fallenden Masse unten wieder zurück -
und Ende. Dies wäre aber ebenfalls nicht verlustlos, denn:

Selbst wenn eine gewisse Torsion der
Welle bei einzelnen Umdrehungen möglich ist, langfristig
führen n Umdrehungen unten immer zu n Umdrehungen an der
Turmspitze.

Bei einem endlich elastischen Material ist genau das
eben nicht der Fall, die Welle würde sich immer weiter
verdrillen (gerade, wenn sie nicht bricht).

Das kann eigentlich nicht sein. Die Welle ist, nur dann macht das Ganze Sinn, so dimensioniert, daß sie durch das aufgebrachte Drehmoment M keinen Schaden nimmt. Einer Verdrillung widersetzt sie sich durch ein entsprechendes Rückstellmoment. Das maximal mögliche Moment ist aber M = F * l. Wie gesagt, es wird sich ein Kräftegleichgewicht einstellen. Vielleicht nicht nach der 1. oder 10. Umdrehung, sicher aber nach der 100.000-sten

Verdrillung
bedeutet aber Energieverlust: die Welle erwärmt sich. Würde
sie nämlich mit der Verdrillung aufhören, hättest du in dem
Augenblick einen absolut elastischen Körper, was mit
absolut inkompressibel (= undeformierbar) identisch wäre. Und
von solchem Material geht deine Überlegung eh aus (auch ohne
Verdrillung). Denn nur dann wäre verlustloser Energietransport
von unten nach oben möglich.

Nein, die Welle steht zwar unter einer konstanten Spannung, aber auch eine real elastische Welle würde in diesem Zustand die Energie verlustlos transportieren. Nur weil sie sich bei statischer Belastung nicht weiter verformt, ist sie doch nicht undeformierbar.

Aber diese Annahme ist identisch
mit der Annahme von Fernwirkung - und Fernwirkungen
gibt es nicht.

Es ist also eine Material-Idealisierung in deiner Überlegung,

Nein, das Experiment ließe sich genausogut mit einer Welle aus echtem Stahl durchführen. Selbst wenn es in den ersten Umdrehungen gewisse materialbedingte Verluste gibt, kann ich doch danach beliebig viele Umdrehungen messen, bis die Anfangsverluste vernachlässigbar gering werden.

die die Idee der Fernwirkung beinhaltet. Dasselbe Argument
hatten wir schonmal bei einer Idee, die Uwe Rill postete.
Siehe hier (und meine Antwort darauf):

http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…

Ich habe das auch gelesen, aber ich denke, das hat mit der Problematik meiner Frage nichts zu tun. Da ging es doch um höchst dynamische Eigenschaften eines Stabes und um Impulsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit.

Die eigentliche Problematik des Experimentes besteht doch darin, daß Energie/Masse entgegen dem Gravitationsfeld transportiert wird, ohne daß sich etwas real in diese Richtung bewegt. Wie bei jeder anderen Energieform muß auch in diesem Fall die oben ankommende Energie geringer sein als die unten aufgebrachte. An der Anzahl der Umdrehungen läßt sich rein geometrisch nichts deuteln, denn dann würde mir die Welle um die Ohren fliegen. Das kann sie aber nicht, weil kein unzulässig hohes Drehmoment entstehen kann. Also bleibt nur noch das Moment, das oben wohl geringer gemessen werden würde als unten. Da die Sache aber auch beliebig langsam ablaufen kann, folgt daraus, daß sogar ein statisches Drehmoment auf der Turmspitze geringer gemessen würde als unten. Naja, dann kommen erst die interessanteren Fragen …
Mich interessiert natürlich erstmal, ob und warum auf der Turmspitze ein anderes Moment gemessen werden kann als unten, obwohl keine äußeren Drehmomente auf die Versuchsanordnung einwirken.

Jörg

Die Rotationsenergie hat in diesem Fall nichts mit
der Winkelgeschwindigkeit zu tun.

Wie bitte? Die Rotationsenergie beträgt Erot=½Iω2, wobei I das Trägheitsmoment der Welle und ω ihre Winkelgeschwindigkeit ist.

Relativistisch stellt sich die Sache folgendermaßen dar:

Am Fuß des Turmes hat die Welle eine Rotationsenergie von

E0 = ½Iω02.

Um die Rotationsenergie derselben Welle in der Höhe h zu berechnen, brauchen wir die dortige Winkelgeschwindigkeit ωh. Diese erhalten wir über die relativistische Zeitdilatation, der die Welle im Gravitationsfeld ausgesetzt ist. Für das Verhältnis der Zeit t0 am Fuß des Turmes und der Zeit th in der Höhe h gilt

t0 = th·√(1-gh/c2)

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung des jeweiligen Winkels nach der jeweiligen Zeit:

ω0 = dφ0/dt0 und ωh = dφh/dth

Der Winkel in der Höhe h beträgt dabei

φh = φ0 + Δφ

Da Du gefordert hast, daß sich die Welle nicht unendlich verdrehen soll, wird der Torsionswinkel Δφ irgendwann einen konstanten Maximalwert erreichen, so daß gilt

ωh = dφ0/dth = (dφ0/dt0)·(dt0/dth) = ω0·√(1-gh/c2)

Die Rotationsenergie in der Höhe h beträgt demnach

Eh = ½Iω02·(1-gh/c2) = E0·(1-gh/c2)

Die Energiedifferenz -E0·gh/c2 entspricht wegen E0 = m0c2 exakt der potentiellen Energie m0gh, die für das Anheben der Masse m0 auf die Höhe h aufgewendet werden muß. Wenn die Masse wieder zum Fuß des Turmes zurücktransportiert wird, gewinne ich also keine zusätzliche Energie, sondern ich erhalte nur die Energie zurück, die ich zuvor verloren habe.

Die Rotationsenergie hat in diesem Fall nichts mit
der Winkelgeschwindigkeit zu tun.

Wie bitte? Die Rotationsenergie beträgt
Erot=½Iω2, wobei I das
Trägheitsmoment der Welle und ω ihre
Winkelgeschwindigkeit ist.

Ich dachte eigentlich, es wäre klar, was ich meine. O.k., es ist für sich gesehen etwas mißverständlich ausgedrückt, aber ich betone nochmal, daß die durch Winkelgeschwindigkeit und Trägheitsmoment der Welle verursachte Rotationsenergie in meinem Experiment keine Rolle spielt.

  1. geht die Energie mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ein, sodaß ich sie vernachlässigen kann, wenn die Drehung nur genügend langsam ist.

  2. Kann die Welle mit konstanter Drehzahl drehen lassen, sodaß ich diese Energie nur während der Startphase einmalig aufbringen muß.

Du bringst immer wieder die Zeit ins Spiel. Sinn des Versuchsaufbaus war es aber, genau das zu vermeiden. An der Welle geht es nur um Drehmomente und Drehwinkel, ganz zeitlos.
Näheres dazu habe ich auch im Antwortposting zu Metapher geschrieben. Ich hoffe daß da einigermaßen klar wird, was ich wirklich meine.

Jörg

Du bringst immer wieder die Zeit ins Spiel.

Die Zeit kommt von selbst ins Spiel. Da hilft Dir auch die Verwendung eines konstanten Drehmomentes nicht weiter. Du mußt nämlich nur berücksichtigen, daß das Drehmoment die Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit ist und schon ist die häßliche Zeit wieder da:

Angenommen Du würdest die Welle an ihrem unteren Ende in der zeit Δt0 genau einmal um ihre Achse drehen, dann führst Du ihr die Energie

E0 = 2πrM0

und den Drehimpuls

L0 = M0Δt0

zu.

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz muß dieser Drehimpuls am oberen Ende der Welle unverändert wieder herauskommen. Wenn man dort also abwartet, bis die Welle ihre Drehung beendet hat, dann mißt man auch dort den Drehimpuls

Lh = MhΔth = L0 = M0Δt0

Wegen der Zeitdilatation im Gravitationsfeld gibt die Welle den Drehimpuls aber langsamer ab, als er zugeführt wurde. Um dem Drehimpulserhaltungssatz zu genügen muß über diese Längere Zeit ein kleineres Drehmoment wirken und es gilt:

Mh = M0(1-gh/c2)

Damit reduziert sich auch die bei der einen Umdrehung wieder abgegebenen Rotationsenergie um m0gh auf

Eh = E0(1-gh/c2)

Du bringst immer wieder die Zeit ins Spiel.

Die Zeit kommt von selbst ins Spiel. Da hilft Dir auch die
Verwendung eines konstanten Drehmomentes nicht weiter. Du mußt
nämlich nur berücksichtigen, daß das Drehmoment die Ableitung
des Drehimpulses nach der Zeit ist

muß ich wirklich ? Da gibt es doch noch die gute alte Definition aus der Statik, wonach das Drehmoment das Produkt aus Kraft und Hebelarmlänge ist. Genau die habe ich auch verwendet. Die Energie ist dann einfach das Produkt aus Moment und Drehwinkel

und schon ist die häßliche
Zeit wieder da:

So häßlich find ich sie nun auch nicht, aber in diesem Fall macht sie die Sache nur unötig kompliziert. Aber gut, wenn Du die Zeit unbedingt haben willst, dann kann man es auch so durchspielen:

Angenommen Du würdest die Welle an ihrem unteren Ende in der
zeit Δt0 genau einmal um ihre Achse drehen,
dann führst Du ihr die Energie

E0 = 2πrM0

und den Drehimpuls

L0 = M0Δt0

zu.

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz muß dieser Drehimpuls am
oberen Ende der Welle unverändert wieder herauskommen. Wenn
man dort also abwartet, bis die Welle ihre Drehung beendet
hat, dann mißt man auch dort den Drehimpuls

Lh = MhΔth =
L0 = M0Δt0

Wegen der Zeitdilatation im Gravitationsfeld gibt die Welle
den Drehimpuls aber langsamer ab, als er zugeführt wurde. Um
dem Drehimpulserhaltungssatz zu genügen muß über diese Längere
Zeit ein kleineres Drehmoment wirken und es gilt:

Mh = M0(1-gh/c2)

Damit reduziert sich auch die bei der einen Umdrehung wieder
abgegebenen Rotationsenergie um m0gh auf

Eh = E0(1-gh/c2)

Dann kommst Du auch mit der Zeit zum gleichen Ergebnis wie ich ohne:

  1. Das Drehmoment ist also oben geringer als unten.

  2. Die Energiedifferenz hängt nur von Höhenunterschied, Gravitationsbeschleunigung und Gesamtenergie/masse ab, nicht jedoch von der Zeitdauer in der sich das Ganze abspielt.

Da die Zeitdauer beliebig lang sein kann, kann ich also auch hier auf einen statischen Drehmomentunterschied schließen.

Jörg

muß ich wirklich ? Da gibt es doch noch die gute alte
Definition aus der Statik, wonach das Drehmoment das Produkt
aus Kraft und Hebelarmlänge ist. Genau die habe ich auch
verwendet.

Damit hast Du aber nicht viel gekonnt, weil die Kraft wiederum die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist.

Da die Zeitdauer beliebig lang sein kann, kann ich also auch
hier auf einen statischen Drehmomentunterschied schließen.

Wenn ich mich recht entsinne wolltest Du aber wissen, warum das so ist. Diese Frage wirst Du ohne Berücksichtigung der Zeitdilatation im Gravitationsfeld nicht so leicht beantworten können.

muß ich wirklich ? Da gibt es doch noch die gute alte
Definition aus der Statik, wonach das Drehmoment das Produkt
aus Kraft und Hebelarmlänge ist. Genau die habe ich auch
verwendet.

Damit hast Du aber nicht viel gekonnt, weil die Kraft wiederum
die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist.

Ich habe zumindest erstmal die Sache vereinfacht und damit (hoffentlich) relativ leicht nachvollziehbar gezeigt, daß es eine Drehmomentdifferenz geben muß.

Da die Zeitdauer beliebig lang sein kann, kann ich also auch
hier auf einen statischen Drehmomentunterschied schließen.

Wenn ich mich recht entsinne wolltest Du aber wissen, warum
das so ist.

nicht nur warum, sondern auch ob es wirklich so ist. Im letztgenannten Punkt scheinen wir uns ja einig zu sein. Das war mir bei unserer Diskussion nicht so klar, deswegen wollte ich das erstmal klären.

Diese Frage wirst Du ohne Berücksichtigung der
Zeitdilatation im Gravitationsfeld nicht so leicht beantworten
können.

Darüber muß ich dann wohl nochmal in Ruhe nachdenken.

Jörg