Perzentilsapprox. bei Poisson

Wissenschaft Physik
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Hallo Matheexperten,

ich suche dringend eine Approximation für das Perzentil der kumulierten Poissonverteilung.
Anders gesagt, ich habe den Mittelwert einer Poissonfunktion und die Fläche und suche die dazugehörige Anzahl an Ereignissen.
Bislange berechne ich das Perzentil, indem ich die Wahrscheinlichkeiten der Reihe nach aufsummiere, bis ich die erwartete kumulierte Wahrscheinlichkeit überschreite. Aber ich hätte dafür gerne eine Approximationsfunktion, die ohne irgendwelche Schleifendurchläufe auskommt.
Weiss vielleicht jemand Rat?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Kai

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Hi Kai
(das reimt sich)
Aus der Tatsache, dass dich das schleifenmässige Aufsummieren nervt, schliesse ich, dass der Mittelwert der Poissonverteilung nicht gerade klein ist.
Sollte er grösser als 9 sein, dann kannst du mit der Normalverteilung nähern und die Anteilswerte dann in einschlägigen Z-Tabellen nachschlagen.
Aber warum versuchst du es nicht mit der Excel Funktion Poisson? Sind deine Werte so riesig?
Wenn du mehr schreibst, kann ich dir evtl. noch besser helfen.
Gruss,

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Hallo Helge,

danke für deine erste Antwort.
Der Mittelwert kann bis zu 100 gross werden. Die Fläche über der Wahrscheinlichkeitsfunktion kann auch bis 99,9% hochgehen.
Da ich versuche, das ganze zu programmieren, kann ich Excel leider nicht verwenden. Z-Tabellen stehen mir daher auch nicht zur Verfügung. Wobei ich für die Normalverteilung eine gute Näherungsfunktion habe.

Das grosse Problem ist, dass der Mittelwert und die Fläche absolut variabel sind. Das heisst, sie können in jeder Kombination auftreten.
Somit reicht es meiner Meinung nach nicht aus, nur den Mittelwert zu betrachten, um zu entscheiden, ob man mit der Normalverteilung annähern kann. Die Fläche sollte da auch mit in die Überlegungen eingehen. Kennst du da vielleicht den Zusammanhang?

Zudem soll der Mittelwert, ab dem mit der Normalverteilung angenähert wird erst bei Werten größer 100 liegen. Allerdings läuft die Berechnung der Poissonfunktion sehr häufig, so dass der Performanceaspekt sehr wichtig wird und eine Berechnung über eine Schleife zu aufwendig ist.

Daher meine Suche nach einer Approximationsformel.

Danke und Gruß
Kai

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Hallo Kai,

die Normalverteilungsapproximation ist nicht so günstig, weil sie die Schiefe der Poisson-Verteilung nicht berücksichtigt.
Gut geeignet ist aber die Approximation über die Chiquadrat-Verteilung:
Für große n gilt bei X~Po(lambda):
P(X [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo Helge,

danke für deine erste Antwort.
Der Mittelwert kann bis zu 100 gross werden.

Ab 10 ist die NV Näherung schon gut.

Die Fläche über
der Wahrscheinlichkeitsfunktion kann auch bis 99,9% hochgehen.

Mist.

Da ich versuche, das ganze zu programmieren, kann ich Excel
leider nicht verwenden. Z-Tabellen stehen mir daher auch nicht
zur Verfügung. Wobei ich für die Normalverteilung eine gute
Näherungsfunktion habe.

Du meinst sicherlich „kumulierte NV“

Das grosse Problem ist, dass der Mittelwert und die Fläche
absolut variabel sind. Das heisst, sie können in jeder
Kombination auftreten.

Nicht ganz. Die Poissonverteilung hat nur einen Parameter: Mittelwert.

Somit reicht es meiner Meinung nach nicht aus, nur den
Mittelwert zu betrachten, um zu entscheiden, ob man mit der
Normalverteilung annähern kann. Die Fläche sollte da auch mit
in die Überlegungen eingehen.

Nochmal nicht ganz: Durch den Mittelwert ist die Form der PV eindeutig vorgegeben. Das ist ga gerade der Grund, warum die PV als Näherung für eine andere Verteilung herhalten muss (gehört aber nicht hierher).
Du meinst mit Fläche vielleicht das Percentil, oder?

Kennst du da vielleicht den
Zusammanhang?

Siehe vorher.

Zudem soll der Mittelwert, ab dem mit der Normalverteilung
angenähert wird erst bei Werten größer 100 liegen. Allerdings
läuft die Berechnung der Poissonfunktion sehr häufig, so dass
der Performanceaspekt sehr wichtig wird und eine Berechnung
über eine Schleife zu aufwendig ist.

Daher meine Suche nach einer Approximationsformel.

Ich habe das Buch von Lothar Sachs gerade nicht griffbereit.
Ich werde mich morgen nochmal melden.
Mir fällt jedoch noch was Anderes ein:
Wenn der Mittelwert bis zu 100 betragen kann und du alle Percentile berechnen möchtest, dann sind das 100 *100 = 10000 Werte.
Leg doch einfach eine Tabelle an, auf die dann nach Wahl von Mittelwert und Percentil zugegriffen wird.
Das gäbe eine geniale Performance.

Danke und Gruß
Kai

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Algorithmen im Internet
Nach langer vergeblicher Suche habe ich mal unter folgender Adresse brauchbare Berechnungsalgorithmen für solche Verteilungssummen- und Quantilsfunktionen im Internet gefunden:

http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/#C

Es handelt sich dabei um aufwendige numerische Approximationsverfahren, die aber für die meisten Aufgaben ihren Zweck erfüllen könnten.

Gerald