Problemstellung
Um eine dünne Scheibe mit einer engen Rille am Umfang sei mehrmals ein Faden gewickelt (Radius = 1, Masse = 1).
Das Fadenende wird festgehalten und die Scheibe fallengelassen (freier Fall, wie Yo Yo, Betrachtung nur bis Faden völlig abgerollt)
Luftwiderstand und Reibungswiderstand seien unberücksichtigt.
Ist es möglich eine Gleichung für den Pfad des Scheibenmittelpunktes zu finden?
Die Bewegung scheint kompliziert, weil die Scheibe einerseits um das Zentrum rotiert und ein Trägheitsmoment hat und anderseits bei der Bewegung entlang des Fadens ein anderes Drehzentrum auf der Peripherie der Scheibe hat (dort wo der Faden als Tangente die Rolle verlässt)
Alles was ich über das Problem gefunden habe, ist, dass darüber nichts im Web existiert.
Dankbar für eine Antwort, Walter Bollier
Man kann sich das so vorstellen, als würde eine Scheibe die schiefe Ebene herunterrollen. Dort gilt:
1/2Mv² + 1/2Mk²o² = Mgx sin(a)
I = Mk² ist das Trägheitsmoment (1/2Mr² für eine Scheibe)
o x r = v, o: Winkelgeschwindigkeit
v = dx/dt
o² = v²/r² (da x = Winkel*r), also für a = 90grad:
1/2 M(1+k²/r²)v² = Mgx
Setzen wir die Zeit t’ = t/Sqrt(1+k²/r²), dann haben wir die Verhältnisse für den freien Fall:
d²x/dt’² = g mit t’ = t/Sqrt(1+k²/r²) und k²/r² = 1/2
[Ich habe mir hierbei vorbehalten, u.U. beliebige Fehler zu begehen, außer Denkfehler hoffentlich. Man folge dem Ansatz und mache es richtig 
]
MOD: Zitat entfernt
Man kann sich das so vorstellen, als würde eine Scheibe die
schiefe Ebene herunterrollen. Dort gilt:
… genügend raue Scheibe, besser gesagt (damit kein Schlüpfen stattfindet). Dann ist x = Winkel * r bzw v = o*r.
Hallo,
Ist es möglich eine Gleichung für den Pfad des
Scheibenmittelpunktes zu finden?
aber ja. Du musst dazu zwei Bewegungsgleichungen aufstellen, die für die Rollen-Translation und die für die Rollen-Rotation:
FG – FFaden = m a
T = J α
Außerdem sind die Linearbeschleunigung a und die Winkelbeschleunigung α der Rolle durch das Abrollen miteinander verknüpft. Man nennt sowas eine Zwangsbedingung; hier lautet sie
a = α R
Das ist schon fast alles. Das Drehmoment T (engl. torque) auf die Rolle beträgt
T = R FFaden
und die Gravitationskraft FG ist wie immer
FG = m g
Das sind fünf Gleichungen, aus denen sich durch Eliminierung der nicht interessierenden Größen α, T und FG zwei machen lassen:
(1) m a + FFaden = m g
(2) R FFaden – J a/R = 0
Das ist ein lineares, inhomogenes Gleichungssystem für die Unbekannten a und FFaden. Lösung:
a = m R²/(J + m R²) g
FFaden = J/(J + m R²) m g
Oder wenn Du das Trägheitsmoment J als J = k m R² ausdrückst:
a = 1/(k + 1) g
FFaden = k/(k + 1) m g
Ein Zylinder mit homogener Masseverteilung hat J = 1/2 m R², also ist kRolle = 1/2. Ergebnis: Die Rolle bewegt sich gleichförmig beschleunigt mit der Beschleunigung 2/3 g abwärts, und spannt dabei den Faden mit der Kraft 1/3 m g.
Gruß
Martin
MOD: Ein Zitat entfernt
Lösung:
a = m R²/(J + m R²) g
FFaden = J/(J + m R²) m g
Oder wenn Du das Trägheitsmoment J als J = k m R² ausdrückst:
a = 1/(k + 1) g
Schön, dass hier dasselbe herauskommt wie bei der Rechnung mit dem Energiesatz (s. Beitrag zuvor).
R hier ist r dort
kR² hier ist k² dort
a hier ist d²x/dt² dort
Ich war nämlich schon beunruhigt, dass es mit dem Energiesatz so einfach und schön klappte (da mir ungeschicklicherweise die Sache mit FFaden=T/R nicht eingefallen ist).
Übersetzt in diese Notation lautet der Energiesatz in dieser Notation (mit dv/dt = a und do/dt = α)
mv²/2 + Jo²/2 = mgx
und mit o = v/R und J = kmR²
v²/2 = g/(1+k) * x
[
x = Winkel*R ist die gefallene Strecke:
x = 1/2 * g/(1+k) * t² = gt’²/2
Das mit t -> t’ = t/Sqrt(1+k) ist vielleicht irritierend.
Machen wir lieber g -> g’ = g/(1+k) und somit
x = g’t²/2
als Fallstrecke.
]
MOD: Zitat gekürzt.
a = 1/(k + 1) g
Schön, dass hier dasselbe herauskommt wie bei der Rechnung mit
dem Energiesatz (s. Beitrag zuvor).
Ich freu mich auch *zwinker*.
mv²/2 + Jo²/2 = mgx
und mit o = v/R und J = kmR²
v²/2 = g/(1+k) * x
Ja, auch mit dem Energiesatz gelangst Du zum Ziel, allerdings musst Du auf die Fadenspannkraft verzichten, weil in diesem Ansatz ja keine Kräfte vorkommen (Berechnung von FFaden mit Zusatzannahme am Schluß ist möglich, zählt aber nicht).
Aus der letzten Zeile brauchst Du übrigens nur noch die Beschleunigung abzulesen: a = g/(1 + k), denn bei einem freien Fall würde ja v²/2 = g x da stehen.
x = 1/2 * g/(1+k) * t² = gt’²/2
Das mit t -> t’ = t/Sqrt(1+k) ist vielleicht irritierend.
Die Zeit sollte man nun wirklich in Ruhe lassen…
Machen wir lieber g -> g’ = g/(1+k) und somit
g’? Ich finde ein schlichtes „x(t) = 1/2 a t² mit a = g/(1 + k)“ am wenigsten irritierend. Da die Beschleunigung ein schönes a (engl. acceleration) als Formelzeichen hat, kann man es doch auch benutzen.
Die Zeit sollte man nun wirklich in Ruhe lassen…
Nein, nein. Man müsste sich anderen Ortes sonst so viel Mühe geben, z.B. beim Herleiten des Virialtheorems. Die Zeit zu skalieren idt gängige Praxis.
Im übrigen kann ich jetzt die Fadenspannung (zugegeben im Nachhinein, dafür im anderen Lichte und anwendbar für zukünftige Probleme) behandeln (ich halte dies für interessant und lehrreich):
Die Zeit wird bei dieser Bewegung um SQRT(1+k) gestreckt. Da d²x/dt² ~ 1/t² kann man dies auch so auffassen, als wirkte nur die Kraft F_G/(1+k). Da aber tatsächlich F_G wirkt, muss der Rest, F_G*k/(1+k), vom Faden aufgenommen werden.
Zwei Dinge sind mir dabei aufgefallen:
(a) Befestigt man den Faden an einem (Feder-)Kraftmesser, müsste der m*g*k/(1+k) anzeigen.
(b) In der Oberstufe habe ich mich einmal abgequält, g mit großer Ungenauigkeit (Fall aus 1m Höhe) zu bestimmen. Warum lässt man statt dessen nicht eine Hantel (Abrollradius r: x = Winkel*r
Da die Beschleunigung ein
schönes a (engl. acceleration) als Formelzeichen hat,
kann man es doch auch benutzen.
Ganz so einfach ist es nicht: Distance ist z.B. s, s wie spatium. 
… z.B. beim Herleiten des Virialtheorems. Die Zeit zu
skalieren idt gängige Praxis.
Kann ja sein, aber ich sehe beim hiesigen Problem einfach keinen Vorteil darin. Was soll daran besser sein als schlicht zu sagen „Der Körper bewegt sich mit der konstanten Beschleunigung a = g/(k + 1) nach unten (beim freien Fall wäre es a = g)“?
Die Zeit wird bei dieser Bewegung um SQRT(1+k) gestreckt. Da
d²x/dt² ~ 1/t² kann man dies auch so auffassen, als wirkte nur
die Kraft F_G/(1+k). Da aber tatsächlich F_G wirkt, muss der
Rest, F_G*k/(1+k), vom Faden aufgenommen werden.
Was für eine Argumentation… Bleibt für mich die Frage, ob Du so vielleicht nur in diesem einfachen Fall „zufällig“ auf das richtige Ergebnis kommst. Was ist, wenn der Faden nicht an der Decke festgemacht ist, sondern an der Achse einer weiteren Rolle, deren Abrollfaden an einer dritten Rolle…? Wirst Du dann jeder Rolle ihre eigene Zeitskalierung zusprechen (ich sag einfach die oberste Rolle erfährt die Beschleunigung a1 = … g, die mittlere die Beschl. a2 = … g, und die untere die Beschl. a3 = … g, und fertig)?
(a) Befestigt man den Faden an einem (Feder-)Kraftmesser,
müsste der m*g*k/(1+k) anzeigen.
Selbstverständlich.
(b) In der Oberstufe habe ich mich einmal abgequält, g mit
großer Ungenauigkeit (Fall aus 1m Höhe) zu bestimmen. Warum
lässt man statt dessen nicht eine Hantel (Abrollradius r: x =
Winkel*r
Bleibt für mich die Frage, ob
Du so vielleicht nur in diesem einfachen Fall „zufällig“ auf
das richtige Ergebnis kommst. Was ist, wenn der Faden nicht an
der Decke festgemacht ist, sondern
Ich? Ich habe damit nichts zu tun, es ist die Physik und es ist auch kein Zufall. Der Energiesatz, wenn er den gilt, führt bei ein-dimensionalen Problemen 100%ig zum Ziel.
Denn ein Integral der Bewegung (Energie) + eine Konstante, die den Zeitnullpunkt festlegt, reichen völlig aus, um die Bewegungsgleichung 2. Ordnung zu lösen.
Und in komplizierteren Fällen: Man darf halt keine Zwangsbedingungen übersehen und muss halt die richtige Koordinate wählen.
Wenn ich mich recht entsinne, es ist Jahrzehnte her, besteht die Kunst bei komplizierten mechanischen Problemen, die richtigen verallgemeinenerten Koordinaten und zyklischen Variablen zu finden - dann wird alles zum Kinderspiel (zumindest bei den Übungsaufgaben).
OK, vote für Abschluss der Problemlösung (owT)
„owT“ = „ohne weiteren Text“!