Hallo,
Die Gruppe kann doch die gleiche Wellenlänge haben, wie die
unendlich ausgedehnte Welle.
nein. Eine Gruppe hat niemals nur eine einzige Wellenlänge, auch wenn das so aussehen mag. DIe Eigenschaft, nur eine einzige Wellenlänge zu haben, ist dem unendlich ausgedehnten , monochromatischen Wellenzug vorbehalten.
Laß Dir mal die Funktion
f(x) = sin(10 x) * exp(–x2)
plotten. Es hat zwar den Anschein, als ob dieser Wellenberg einfach dieselbe Frequenz „10“ hat wie sin(10 x), aber mathematisch gesehen ist dies falsch! Um diesen so harmlos aussehenden Wellenberg zu fourier-synthetisieren (Summe aus beliebig vielen „ak sin(k x)“-Partialwellen mit unterschiedlichen ak’s und k’s), brauchst Du eine Unmenge von Partialwellen. Um ihn „perfekt hinzukriegen“ benötigst Du sogar unendlich viele. In dem „Spektrum“ dieses Wellenberges sind alle möglichen Frequenzen vertreten, nicht nur „10“! Allerdings: Die Amplituden ak des Spektrums haben bei 10 ein Maximum. Nach rechts und links fallen die Amplituden gaußglockenmäßig ab. Das deshalb, weil der „exp(-x²)“-Term in dem f(x) die Amplitudenfunktion („Hüllkurve“) darstellt; es ist eine Gaußglocke, und die Fouriertransformierte einer Gaußglocke ist wieder eine solche.
Also: Der Wellenberg „sin(10 x) * exp(-x²)“ „enthält“ alle möglichen Frequenzen, wobei die größten Amplituden jedoch um den Wert 10 anzutreffen sind. Nun kann es abhängig vom Medium passieren, daß die stärkste Partialwelle (Frequenz = 10) z. B. mit der Geschwindigkeit 800 vorwärtspropagiert, aber eine etwas langwelligere PW mit der Geschwindigkeit 810, und eine etwas kurzwelligere mit der Geschwindigkeit 790. In diesem Fall liegt eine Dispersion vor, genauer eine normale Dispersion: Langwellige PW sind schneller als kurzwellige. Im umgekehrten Fall (langwellige PW langsamer als kurzwellige) spricht man von einer anomalen Dispersion. Sie tritt z. B. in doppelbrechenden Kristallen auf. In dispersionsfreien Medien haben alle PW die gleiche Geschwindigkeit (Beispiel: elekromagnetische Wellen im Vakuum).
Wie das nun konkret aussieht, wenn eine Wellen in einem dispersiven Medium fortschreitet, zeigen drei kleine Filme, die Du hier findest:
http://www.mitglied.lycos.de/SabinchenM/
Der dort zu sehende Wellenberg besteht aus 33 Partialwellen. Deshalb ist es nicht nur einer, sondern äquidistant unendlich viele. Würde man die Simulation fortsetzen, würden die Wellenberge ineinanderlaufen und es käme zu einem wüsten Durcheinander, aber irgendwann nach geraumer Zeit würde sich schließlich das anfängliche Muster wie Phönix aus der Asche wieder aufbauen (!), und danach würde sich alles wiederholen. Auch dies ist eine Folge der Tatsache, daß es nur 33 statt unendlich vieler Partialwellen sind. Dies macht die Sache räumlich und zeitlich periodisch.
Wenn man genau hinsieht, erkennt man auch gut, wie im Falle einer normalen Dispersion in dem Wellenberg nach einer Weile am hinteren Ende die „langsamen kurzen“ Wellen und am vorderen die „schnellen langen“ sind (bzw. umgekehrt bei der anomalen Dispersion).
Gruß
Martin
