PISA-Studie: 31 cents bezahlen

Hallo!

Folgende Aufgabe wurde 15-jährigen Schülern in der PISA Studie gestellt – nur 1.3% der deutschen Schüler konnten sie vollständig lösen:

Wie kann man genau 31 cents bezahlen, wenn man nur 10c, 5c und 2c Münzen zur Verfügung hat?

[Gut, bis hierhin kann man das ja noch rauskriegen ;o) aber jetzt wird’s interessanter.]

–> Warum ist dieses Problem lösbar?

–> Löse das Problem, indem Du alle Möglichkeiten zeigst.

Hmm… ja, und hier bin ich dann auch mit meinem Latein am Ende. Warum ist dieses Problem lösbar, und wie krieg ich (evtl. ohne rumprobieren, sondern etwas „cleverer“) alle Lösungen raus?

Das würd’ mich jetzt echt mal interessieren!

Danke, und tschüss,

Dennis =o)

Hi!

–> Warum ist dieses Problem lösbar?

Weil man mit 2er und 5er Münzen jeden Betrag >=4 bezahlen kann.

Beweis durch Induktion:
Ind.anfang: 4=2*2
Ind.schluss: k->k+1, k sei durch 2er und 5er Münzen dargestellt. Also: k=a*5+b*2. Dann ist im Falle a>=1

k+1= a*5+b*2+1 =(a-1)*5+5+b*2+1 = (a-1)*5+6+b*2=(a-1)*5+(b+3)*2

Im Falle a=0, muss wegen k>=4 b>=2 sein und man erhält

k+1=b*2+1=(b-2)*2+4+1=5+(b-2)*2

Gruß
OLIVER

Hallo,
ist eigentlich ein sehr einfaches Problem, daß man völlig
ohne höhere Mathematik lösen kann.

–> Warum ist dieses Problem lösbar?

Weil man mit den 5c-Münzen auch einen ungeraden Wert hat.
Die 2c sind ja gerade. Durch Summieren von 2c auf einen
ungeraden oder geraden Anfangswert kann man also jeden
Wert größer 3c realisieren.

–> Löse das Problem, indem Du alle Möglichkeiten zeigst.

Da 31c ein ungerader Wert ist, braucht man eigentlich nur alle Varianten mit ungeraden Vielfachen von 5c betrachten,
weil ja gerade Anzahl von 5c-Münzen wieder geraden Wert ergibt.
-> 5c + Rest in 2c
-> 15c + Rest in 2c, 15=3x5 oder 10+5
-> 25c + Rest in 2c, 25=5x5 oder 10+3x5 oder 2x10+5
Gruß Uwi

Hi Uwe, hi Oliver,

danke für eure Antwort ;o) besonders den Beweis fand ich interessant!

ist eigentlich ein sehr einfaches Problem, daß man völlig
ohne höhere Mathematik lösen kann.

Wie ich schon sagte… 1.3% haben das hingekriegt ;o)

Danke!

Ciao,

Dennis =o)

Hallo!

Folgende Aufgabe wurde 15-jährigen Schülern in der PISA Studie
gestellt – nur 1.3% der deutschen Schüler konnten sie
vollständig lösen:

Wie kann man genau 31 cents bezahlen, wenn man nur 10c, 5c und
2c Münzen zur Verfügung hat?

[Gut, bis hierhin kann man das ja noch rauskriegen ;o) aber
jetzt wird’s interessanter.]

–> Warum ist dieses Problem lösbar?

–> Löse das Problem, indem Du alle Möglichkeiten zeigst.

Also, die Lösung ist für Mathestudenten auf Vordiplomniveau sicher trivial. Aber für 15-jährige Schüler? Ich hätte das damals auch nicht gekonnt. Eine Lösung hätte ich sicher gefunden, aber den allgemeinen Lösbarkeitsbeweis?

Hut ab vor den 1.3% der 15-jährigen, die das konnten. Jetzt sag mir noch einer, in England oder sonstwo konnten das 80% der befragten Schüler und ich werde einen Bauklotz staunen.

Was die in der PISA Studie so alles wissen wollten …

Gruß

Fritze

Hi,

und genau um solche trivialen Beweise, die belegen, dass Leute nicht nur stur Formeln auswendig gelernt haben, ging es ja auch in der Studie. Ich will die PISA-Studie in Gesamtheit damit jetzt nicht bewerten (habe sie, wie wohl auch kaum jemand sonst wirklich komplett gelesen), aber bei allen mir unter gekommenen Fragen, habe ich ziemlich deutlich gesehen, dass die Sache einen wirklich interessanten Ansatz verfolgt hat. Offenbar ist unser deutsches Schulsystem tatsächlich sehr stark auf Wissensvermittlung aus, allerdings wird wenig Wert darauf gelegt, über dieses Wissen hinaus die Schüler zu einem Transfer auf tatsächliche Probleme in Alltag und Beruf vorzubereiten.

Ich war selbst immer ein eher schlecher bis maximal mittelmäßiger Schüler, bin dafür aber im Jura-Studium offenbar genau deshalb gut zu Recht gekommen, weil mir diese Umsetzung immer leicht gefallen ist. Viele Kommilitonen meinten auch da, Klausuren und Hausarbeit mit Bücherwissen und Lösungsschemata lösen zu können, was natürlich in der Juristerei nicht funktionieren kann. Und ich denke wirklich, dass gerade die dort üblichen hohen Abbrecherzahlen etwas damit zu tun haben, dass der Transfer in den Schulen nicht gelehrt wird.

Ein anderes Beispiel sind ganz praktische Probleme in Beruf und Haushalt. Ich mache mir immer wieder einen Spaß daraus, dann mit Sprüchen wie:„Physik / Chemie / Mathe … achte Klasse“ Problemlösungen vorzuschlagen, von denen ich eigentlich ausgehen würde, dass Leute mit Abi auch alleine drauf kommen sollten, wenn sie den Bezug zwischen dem, was sie einmal gelernt haben, und ihrem aktuellen Problem herstellen würden. Genau dies findet aber nicht statt. Es wird überhaupt nicht erkannt, dass die angeblich unlösbaren Probleme mit eigenem Schulwissen leicht gelöst werden könnten, und dass in vielen Fällen überhaupt keine höheren wissenschaftlichen Erkenntnisse notwenig sind.

Dies trifft auf die Aussage hier: „Lösbar, weil sowohl Münzen mit geraden, als auch Münzen mit ungeradem Wert vorhanden sind“ genau so zu, wie auf die nette Story mit einer Kollegin (Abi, Volljuristin), die Stromanschlüsse für einen Messestand buchen sollte. Sie stand vollkommen hilflos davor, wieviel mit 16A abgesicherte Zuleitungen sie bestellen sollte, und meinte, dass man dies wohl nur schätzen könne. Selbst als ich sie an den Physikunterricht, und die einfachsten Formeln erinnert, machte es noch nicht „Klick“. Erst als ich es ihr dann vorgerechnet habe, merkte sie, dass sie den Lösungsweg eigentlich auch selbst gekannt hätte.

Gruß vom Wiz

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo,

Jetzt sag mir noch einer, in England oder sonstwo konnten das
80% der befragten Schüler und ich werde einen Bauklotz staunen.

Wer von Klein auf mit inch, yard, foot, … gequält wird, der schaft das sicher leicht :smile:

Cu Rene

Wissen Können

danke für eure Antwort ;o) besonders den Beweis fand ich
interessant!

Ja, dazu muß man nur die Mathe-Kenntnisse aus der 3. oder 4.
Klasse anwenden. Da lernt man schon, was von geraden und
ungeraden Zahlen und was sie unterscheidet. Der Rest ist
gut überschaubar.

Wie ich schon sagte… 1.3% haben das hingekriegt ;o)

Das ist eben das Problem. Mit 15 denken zwar alle, daß sie
es besser können und mächtig schlau sind aber eigentlich sind
die Jugendlichen noch echte Dummies. Es fehlt an jeglicher
Lebeserfahrung und Astraktionsvermögen. Das gelernte Wissen
kann nicht in Praxis angewendet werden. Das kommt erst einige
Zeit später (bei den meisten). Selbst viele Studienabsolventen
geht das noch völig ab.
Gruß Uwi

Hallo René,

Wer von Klein auf mit inch, yard, foot, … gequält wird, der
schaft das sicher leicht :smile:

Das glaube ich nicht :smile:

Ich glaube nicht einmal, dass mehr als 1/3 des deutschen Lehrerkollegiums diese Aufgabe allgemein lösen können. Frag mal einen Deutschlehrer …

Gruß

Fritze

Einfacher
Hi,
es geht noch einfacher :wink:

–> Warum ist dieses Problem lösbar?

Weil 10 + 10 +5 +2 + 2 + 2 = 31
=> es ex. mindestens eine Lösung für das Problem
q.e.d.

duck und weg
Rossi

Hallo,

Wer von Klein auf mit inch, yard, foot, … gequält wird, der
schaft das sicher leicht :smile:

Du siehst das falsch. Sie werden mit Meter und Zentimetern gequält, wenn sie in den Naturwissenschaften gezwungen werden, SI-Einheiten zu lernen.

Wie sagte mir doch ein englischer Freund: „foot is such a natural unit but meter…“

Gruß
Thomas

stimmt
Hi,

Dies trifft auf die Aussage hier: „Lösbar, weil sowohl Münzen
mit geraden, als auch Münzen mit ungeradem Wert vorhanden
sind“ genau so zu, wie auf die nette Story mit einer Kollegin
(Abi, Volljuristin), die Stromanschlüsse für einen Messestand
buchen sollte. Sie stand vollkommen hilflos davor, wieviel mit
16A abgesicherte Zuleitungen sie bestellen sollte, und meinte,
dass man dies wohl nur schätzen könne. Selbst als ich sie an
den Physikunterricht, und die einfachsten Formeln erinnert,
machte es noch nicht „Klick“. Erst als ich es ihr dann
vorgerechnet habe, merkte sie, dass sie den Lösungsweg
eigentlich auch selbst gekannt hätte.

eben solche Geschichten gibt es zuhauf. Die meisten „Hausfrauen“ verzeihen das Gesicht, wenn sie das Wort Mathe nur hören und sind der Meinung, daß sie es nicht könnten. Fragt man sie dann nach dem Dreisatz rollen sie mit den Augen und blocken ab. Dabei verwenden sie ihn mit nahezu traumwandlerischer Sicherheit bei jedem Einkauf…was soll man dazu sagen?
Überhaupt spielt die Motivation eine tragende Rolle, gerade bei Pubertierenden.

Gruß
Tyll

Gruß vom Wiz

Hi Uwe, hi Oliver,

danke für eure Antwort ;o) besonders den Beweis fand ich
interessant!

ist eigentlich ein sehr einfaches Problem, daß man völlig
ohne höhere Mathematik lösen kann.

Wie ich schon sagte… 1.3% haben das hingekriegt ;o)

Danke!

Ciao,

Dennis =o)

Hallo Wiz

Leider habe ich, hier in der Schweiz, auch immer wieder feststellen müssen, dass man bei vielen Lehrern nur eine gut Note bekommt, wenn man einen Lehrsatz WORTGETREU wiederholen kann.

Aus meiner Erfahrung, hat aber erst dann jemand etwas richtig verstanden, wenn er es mit eigenen Worten beschreiben kann, aber das scheint die geistige Kapazität vieler Lehrer zu überfordern. Zudem scheinen viele Lehrer auch gar keine Ahnung für was man etwas wie z.B. die Mengenlehre, im täglichen Leben überhaupt gebrauchen könnte und wie soll’s dann ein Schühler verstehen ??

MfG Peter(TOO)

Hi Uwe!

–> Löse das Problem, indem Du alle Möglichkeiten zeigst.

Ich hab’ mir über diesen Teil gerade nochmal Gedanken gemacht und mir Deine Lösung nochmals angeschaut.

Da 31c ein ungerader Wert ist, braucht man eigentlich nur alle
Varianten mit ungeraden Vielfachen von 5c betrachten,
weil ja gerade Anzahl von 5c-Münzen wieder geraden Wert
ergibt.
-> 5c + Rest in 2c
-> 15c + Rest in 2c, 15=3x5 oder 10+5
-> 25c + Rest in 2c, 25=5x5 oder 10+3x5 oder 2x10+5

Wenn ich Dich nciht falsch verstehe, gibt es ja aber doch z.B. auch noch viele Möglichkeiten, mit „Mischungen“ davon zu zahlen, also z.B.

15c + 5 * 2c = 25 + 3*2c = 31

oder

15c + 1 * 10c = 25 + 3*2c = 31

Hast Du evtl. noch ne Idee, wie man ALLE Lösungen finden kann? Gibt doch wahrscheinlich sehr viele…

Danke,

Dennis =o)

letzter Versuch

Da 31c ein ungerader Wert ist, braucht man eigentlich nur alle
Varianten mit ungeraden Vielfachen von 5c betrachten,
weil ja gerade Anzahl von 5c-Münzen wieder geraden Wert
ergibt.
-> 5c + Rest in 2c
-> 15c + Rest in 2c, -> 15 = 3x5 oder 10+5
-> 25c + Rest in 2c, -> 25 = 5x5 oder 3x5 +10 oder 1x5+10+10

Wenn ich Dich nciht falsch verstehe, gibt es ja aber doch z.B.
auch noch viele Möglichkeiten, mit „Mischungen“ davon zu
zahlen, also z.B.
15c + 5 * 2c = 25 + 3*2c = 31
oder
15c + 1 * 10c = 25 + 3*2c = 31
Hast Du evtl. noch ne Idee, wie man ALLE Lösungen finden kann?
Gibt doch wahrscheinlich sehr viele…

Quatsch, gibt es nicht!
Es gibt genau 6 Lösungen (siehe oben).
Nu lese erst noch mal richtig durch, was ich oben geschrieben
habe, vielleich kommst Du dann dahinter, wie’s geht, Du armes
Opfer der deutschen Bildungspolitik.
Offensichtlich ist das Problem nicht nur für 15-Jährige Schüler
der 8. Klasse schwer zu lösen, sondern auch für Studenten nach
13 sinnlosen Jahren Matheausbildung.
Ach ja, ein Problem, daß in der PISA-Studien aufgezeigt wurde,
soll ja die allg. Leseschwäche sein. Vielleicht liegt’s auch
daran ?-)
Gruß Uwi

OK hast recht, sorry ;o) (o.w.T.)
;o)

Thanks!

Dennis =o)