Sonne-Merkur-Venus-Erde-Mond-Mars-Jupiter-Saturn-Uranus-Neptun-Pluto
Wie häufig kann es vorkommen, dass alle Planeten auf der Verbindungslinie Sonne-Pluto in einer Reihe stehen und wie berechnet man das?
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Umlaufzeit/Jahre
ME 0,25
VE 0,6
Erde 1,0
(Mond 0,075)
MA 2
JU 12
SA 30
UR 85
NE 165
PL 250
Guten Abend.
Analog dazu fiele mir eine Aufgabe ein in der ein Gastwirt 7 Piraten ein Fass Bier spendieren würde, wenn diese sich mal wieder in seiner Bar treffen würden. Der 1. Pirat kam jeden Tag, der 2. jeden zweiten, der 3. jeden dritten…der 7. jeden siebten Tag. Die Lösung ging so, dass die einzelnen Zahlen faktorisiert und die unterschiedlichen Faktoren miteinander multipliziert wurden. Das Ergebnis war > 400 &
Hmm das dürfte Mathematisch nicht so schwer werden. Eine Fix-Linie einführen, die von der Sonne bis zur Pluto-Bahn reicht, dann für jeden Planeten eine Bewegungsgleichung x(t) bezüglich dieser Fixlinie aufstellen und alle gleichsetzen. Die würde ich dann in irgendein Computer reinhacken, der mir das dann ausrechnet. Würde aber vermutlich niemals ein richtiges Ergebnis rauskommen, da so ein System aus neun Planeten ein Neun-Körper Problem darstellt. Die Planeten ziehen sich ja mehr oder weniger stark gegenseitig an, deren Monde verändern die erwartete Flugbahn noch zusätzlich. Da die meisten Monde auch keine Kugeln sind, besitzen sie ganz unregelmäßige Gravitationspotenziale und und und…also ganz genau würdest du es wahrscheinlich nie ausrechnen können
Gruß
Florian
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Hallo Du da,
Wie häufig kann es vorkommen, dass alle Planeten auf der
Verbindungslinie Sonne-Pluto in einer Reihe stehen und wie
berechnet man das?
Das wird nie passieren, schon alleine deshalb, weil die Bahnebenen nicht exakt gleich sind. Selbst wenn, müßten die Umlaufzeiten ein rationales Verhältnis haben, aber auch dann dürfte eine Berechnung aufgrund der eliptischen Umlaufbahnen sehr schwierig sein. In der Praxis müßte man noch eine Toleranz definieren innerhalb derer die Planeten noch als „auf der Linie“ gelten. Diese Toleranz würde ganz wesentlich bestimmen, ob und wie oft dieses Ereignis eintritt.
Jörg
Hallo,
die Einwände, dass nicht alle Planeten genau in der gleichen Ebene liegen, elliptisch umlaufen und sich dabei auch noch gegenseitig gravitativ beeinflussen sind natürlich völlig richtig 
deshalb ist die Aufgabe natürlich idealisiert, d.h. rein mathematiscch zu denken.
Man denke sich einfach statt der Planeten eine Uhr mit 10 Zeigern die sich alle unterschiedlich schnell drehen. Der schnellste Zeiger braucht 0,075h, der langsamste 250 Stunden für eine Umdrehung.
Wann sind alle Zeiger deckungsgleich?
Der Gedanke mit der Faktorisierung klingt ganz gut, aber gibt es vielleicht eine Formel?
Für zwei Zeiger/Planeten konnte ich sie noch selbst entwickeln:
t = (t1 * t2) / (t1 - t2)
Das mit der Faktorisierung scheint doch nicht so (einfach) zu klappen…
Beispiel:
Jupiter und Saturn mit 12 und 30 Jahren Umlaufzeit
Faktoren:
12 = 2 * 2 * 3
30 = 2 * 3 * 5
Lasse ich jetzt alle doppelten Faktoren weg, erhalte ich: 2 * 3 * 5 = 30
Das richtige Ergebnis wäre aber alle 20 Jahre…
Hallo,
die Einwände, dass nicht alle Planeten genau in der gleichen
Ebene liegen, elliptisch umlaufen und sich dabei auch noch
gegenseitig gravitativ beeinflussen sind natürlich völlig
richtig
deshalb ist die Aufgabe natürlich idealisiert, d.h. rein
mathematiscch zu denken.
Dann musst Du aber (wie Jörg schon sagte) die Toleranzen angeben, denn die Wahrscheinlichkeit, dass auch nur 3 Planeten plus die Sonne exakt auf einer Geraden liegen ist gleich Null.
Gruß, Marcus
Hi,
Du denkst, wie offenbar die meisten, viel zu physikalisch (was an sich natürlich nicht schlecht ist
Die Toleranz ist bei der Aufgabe implizit in den Daten bereits vorhanden.
Ansonsten hätte ich z.B. für die Umlaufzeit Plutos nicht 250 Jahre, sondern 247,92065… angegeben.
Es ergibt sich nur dann keine (exakte) Lösung, wenn die Umlaufzeiten irrational sind. Das ist aber selbst in der Realität nur theoretisch der Fall, denn praktisch ergeben sich schon aufgrund der begrenzten Messgenauigkeit endlichstellige Zahlen, das gilt natürlich erst recht in der modellhaften Aufgabe. Hier gibt es ganz sicher eine mathematisch saubere und exakte Lösung.
Dumonde
ME 0,25
VE 0,6
Erde 1,0
MA 2
JU 12
SA 30
UR 85
NE 165
PL 250
Hallo,
Du denkst, wie offenbar die meisten, viel zu physikalisch (was
an sich natürlich nicht schlecht ist
Es ist auch richtig, weil es eine physikalische Aufgabe ist.
Die Toleranz ist bei der Aufgabe implizit in den Daten bereits
vorhanden.
Wo denn ???
Ansonsten hätte ich z.B. für die Umlaufzeit Plutos nicht 250
Jahre, sondern 247,92065… angegeben.
Das hat mit der Toleranz nichts zu tun.
Es ergibt sich nur dann keine (exakte) Lösung, wenn die
Umlaufzeiten irrational sind.
Wenn überhaupt, gilt das für die Verhältnisse der Umlaufzeiten. Die Umlaufzeiten selbst können irrational sein, während deren Verhältisse rational sind und umgekehrt. Selbst wenn Umlaufzeiten und Verhältnisse rational sind und eine großzügige Toleranz gegeben ist, muß es noch lange keine Lösung geben. Gegenbeispiel:
Planet A (UZ 1 Jahr) und Planet B (UZ 2 Jahre) stehen alle 2 Jahre in gleicher Konstellation hintereinander. Planet C hat eine Umlaufzeit von 4 Jahren, steht aber zum Zeitpunkt der Konstellation von A und B z.B. um 90° versetzt zu A und B. Folglich wird es niemals eine lineare Konstellation aus A, B und C geben.
Klingt jetzt vielleicht etwas kleinlich, aber Du wolltest es doch mehr mathematisch.
Das ist aber selbst in der
Realität nur theoretisch der Fall, denn praktisch ergeben
sich schon aufgrund der begrenzten Messgenauigkeit
endlichstellige Zahlen, das gilt natürlich erst recht in der
modellhaften Aufgabe.
Trotzdem mußt Du explizit eine Toleranz definieren, damit man grundsätzlich überhaupt eine Lösung finden oder ausschließen kann.
Hier gibt es ganz sicher eine
mathematisch saubere und exakte Lösung.
Glaube ich eigentlich nicht. Soweit ich das überblicken kann, müßte die Lösung mit steigender Planetenzahl (>2) zunehmend chaotisch werden.
Jörg
… ja, aber in unterschiedlichen Bars, und das Bier gibts ja nur in der einen …
Gruß,
Uwe P.
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Hallo,
Würde es helfen, in der Aufgabenstellung zu definieren, daß die Planeten bereits einmal gemeinsam auf dieser Linie standen ? ( und nun wird berechnet, nach welcher Zeit es wieder eintritt ) Zusätzlich : Stopt die Linie in der Sonne, oder geht sie hintendran weiter ?
Gruß,
Uwe P.
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Hallo Uwe,
Würde es helfen, in der Aufgabenstellung zu definieren, daß
die Planeten bereits einmal gemeinsam auf dieser Linie standen
? ( und nun wird berechnet, nach welcher Zeit es wieder
eintritt )
Das ist natürlich eine wesentliche Randbedingung und sie gäbe die Gewissheit, daß es bei rationalen Verhältnissen der Umlaufzeiten mindestens eine exakte zyklische Lösung gibt. Damit weiss man aber noch nicht, ob es weitere Lösungen in anderen Winkelstellungen gibt. Ohne Toleranzangabe wird die Existenz einer Lösung auf jeden Fall immer nur die Ausnahme sein.
Zusätzlich : Stopt die Linie in der Sonne, oder
geht sie hintendran weiter ?
Das ist reine Definitionssache. Gemeint ist sicher eine vom Zentrum ausgehende Halbgerade.
Jörg
Würde es helfen, in der Aufgabenstellung zu definieren, daß
die Planeten bereits einmal gemeinsam auf dieser Linie standen
? ( und nun wird berechnet, nach welcher Zeit es wieder
eintritt ) Zusätzlich : Stopt die Linie in der Sonne, oder
geht sie hintendran weiter ?
Ja, das würde helfen. Anfangs dachte ich, es ginge auch ohne diese zusätzliche Einschränkung, aber für mehr als zwei Planeten scheint es zwingend zu sein, dass alle bereits einmal ‚linientreu‘ waren.
Es interessiert mich ja auch mehr die (theoretische) Dauer des Intervalls zwischen zwei solchen Ereignissen…
Hi Jörg,
Mit irrationalen Zahlen sind „echt“ krumme, quasi-stochastische Zahlen und nicht im Verhältnis zueinanderstehend Zahlen gemeint, wie sie eben typischerweise bei z.B. Messdaten auftreten. Für diese gibt es keine exakte Lösung.
(Das Problem mit der Mathematik, so sehr ich sie auch liebe *g, dass selbst für einfache Aufgaben, alle Randbedingungen ellenlang penibelst definiert werden müssen, und jede Unmöglichkeit auszuschließen ist, wo der pragmatische, gesunde Menschenverstand sie eh ausgeschlossen hätte)
Der Einwand, das es im Einzelfall sogar mit ganzzahligen Zahlen keine Lösung geben kann, ist sehr gut. Daher wäre es sinnvoll, davon auszugehen, dass bei t=0 alle Planeten auf einer Linie stehen.
Ob die Linie eine Halbgerade ist, oder nicht, ist Geschmackssache, ästhetischer wäre natürlilch die Lösung auf einer Halbgerade.
Dumonde
Das mit der Faktorisierung scheint doch nicht so (einfach) zu
klappen…
Beispiel:
Jupiter und Saturn mit 12 und 30 Jahren Umlaufzeit
Faktoren:
12 = 2 * 2 * 3
30 = 2 * 3 * 5Lasse ich jetzt alle doppelten Faktoren weg, erhalte ich: 2 *
3 * 5 = 30
Das richtige Ergebnis wäre aber alle 20 Jahre…… ja, aber in unterschiedlichen Bars, und das Bier gibts ja
nur in der einen …
*lol
(unterschiedliche Bars = unterschiedliche Geraden, =>korrekt)
Sollen Jupiter und Saturn in die gleiche Bar, dann müsste aber als Lösung: „nach 60 Jahren“ herauskommen (Es sei denn, die Bar hätte einen Vorder- und einen Hintereingang…*g)
60 = 2 * 2 * 3 *5
(jetzt müsstest nur noch sagen, wie ich die Faktoren für 60 aus den Faktoren für 12 und 30 bastle, vielleicht 2 mal die gemeinsamen Faktoren?)
Hallo,
Mit irrationalen Zahlen sind „echt“ krumme,
quasi-stochastische Zahlen und nicht im Verhältnis
zueinanderstehend Zahlen gemeint, wie sie eben typischerweise
bei z.B. Messdaten auftreten. Für diese gibt es keine exakte
Lösung.
Irrationale Zahle sind ganz klar definiert, das sagt eigentlich schon der Begriff: Es sind Zahlen, die sich nicht durch einen Bruch, also das Verhältnis (ratio) zweier Zahlen darstellen lassen.
(Das Problem mit der Mathematik, so sehr ich sie auch liebe
*g, dass selbst für einfache Aufgaben, alle Randbedingungen
ellenlang penibelst definiert werden müssen, und jede
Unmöglichkeit auszuschließen ist, wo der pragmatische, gesunde
Menschenverstand sie eh ausgeschlossen hätte)
Tja, da mußt Du eben durch 
Der Einwand, das es im Einzelfall sogar mit ganzzahligen
Zahlen keine Lösung geben kann, ist sehr gut.
Das ist falsch ausgedrückt. Es ist nicht so, daß es im Einzelfall keine Lösung gibt, sondern die Existenz einer Lösung ohne besondere Vorkehrungen ist die absolute Ausnahme.
Daher wäre es
sinnvoll, davon auszugehen, dass bei t=0 alle Planeten auf
einer Linie stehen.
Das ist notwendig, weil die Berechnung einer Konstellation, die erst später zu einer Übereinstimmung führt nicht ganz einfach ist.
Unter dieser Vorraussetzung läßt sich die Periode dieser Übereinstimmung leicht berechnen: Verhältnisse der Umlaufzeiten bilden, als Brüche darstellen, Hauptnenner bilden. das kgV der Zähler bzw. Brüche gibt dann die Dauer der Periode der ursprünglichen Konstellation an. Obwohl es extrem unwahrscheinlich ist, kann es aber rein theoretisch innerhalb einer Periode zu weiteren Übereinstimmungen in anderen Winkelpositionen kommen. Möglicherweise läßt sich sogar mathematisch beweisen, ob oder unter welchen Bedingungen dies der Fall sein kann. Das erspare ich mir aber.
Jörg
(jetzt müsstest nur noch sagen, wie ich die Faktoren für 60
aus den Faktoren für 12 und 30 bastle, vielleicht 2 mal die
gemeinsamen Faktoren?)
Hallo.
Der Ursprung der Frage war ja die Faktorenzerlegung für
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Der kgV der beiden Zahlen setzt sich aus den Faktoren zusammen, die nicht mehrfach vorkommen. Du nimmst also die 12 = 2 x 2 x 3 komplett und hast als einzigen Faktor der 30 noch die 5 übrig. Es entsteht der Term 2 x 2 x 3 x 5, was so ungefähr 60 komma null ist.
Anderes Beispiel : Der kgV von
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
9 = 3 x 3
12 = 2 x 2 x 3
wird gesucht. Nimm die jeweils höchste Potenz jedes vorkommenden Faktors. Das sind die 2² und 3². Diese beiden miteinander multipliziert ergibt 36, was genau der kgV der vier Zahlen ist.
Gruß kw
Holla.
Analog dazu fiele mir eine Aufgabe ein in der ein Gastwirt 7
Piraten ein Fass Bier spendieren würde, wenn diese sich mal
wieder in seiner Bar treffen würden. Der 1. Pirat kam jeden
Tag, der 2. jeden zweiten, der 3. jeden dritten…der 7.
jeden siebten Tag. Die Lösung ging so, dass die einzelnen
Zahlen faktorisiert und die unterschiedlichen Faktoren
miteinander multipliziert wurden. Das Ergebnis war > 400 &
4 x 3 x 5 x 7 = 420.
Der Wirt muss also alle 420 Tage ein Fass schmücken. Wenn jeder Pirat jeden Tag ein Glas Bier zu 0,25 l trinkt, setzt der Wirt in der gleichen Zeit 420 + 210 + 140 + 105 + 84 + 70 + 60 Glas Bier um. Das sind 1089 Glas Bier oder gut 272 Liter. Wieviel Promille hätte der Papagei des dritten Piraten, wenn man ihn mit dieser Menge auf einmal abfüllte?
Gruß kw