Polardarstellung

[Brayn]

Hallo,

ich bin gerade dran mich auf die Klausur vorzubereiten, doch leider stimmt meine Lösung nicht mit der vom Lösungsblatt überein, die Übungsleiterin sagte aber dass es öfter vorkommt dass das Lösungsblatt nicht stimmt.

Hier mal meine Aufgabe

z=3i-3\sqrt{3}

Laut Lösung ergibt dass:
6e^(-\frac{pi}{6})

aber nach meiner Rechnung ist dass so:

z=3i-3\sqrt{3}
=> |z|=\sqrt{(-3\sqrt3)^2+(3i)^2}
= \sqrt{(27)+(-9)}
= \sqrt{18}

Ich schätze die Aufgabe sollte

z=-3i-3\sqrt{3}

oder

z=-3i+3\sqrt{3}

heißen, denn nur durch das - vor dem Imaginärteil wird das i² zur 1 und man erhällt 36, was das Quadrat von 6 ergibt.

Bin ich mit meiner Annahme richtig oder, stimmt die Antwort der Lösung doch

Danke schonmal ,liebe Grüße Matthias

[Che_Netzer]

Das stimmt so schon (auf dem Lösungsblatt).
Der Betrag von a+bi ist \sqrt{a^2+b^2}
Nicht \sqrt{a^2+(bi)^2}

Bei deinem Beispiel also:

\vert z\vert=\sqrt{\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=6
(Der Imaginärteil ist immer reell)

mfg,
Che Netzer

[Brayn]

Hallo Che,

ui dann hab ich mir die ganze Zeit was falsches gemerkt.

(Der Imaginärteil ist immer reell)

Das heißt unter einer Wurzel darf niemals ein Imaginärteil stehen.

Dazu habe ich dann aber noch eine andere Frage, bei einer anderen aufgabe sollen wir Mengen zeichnen z.B.
M={z Element C : |z+i|=|z-1|} ober menge von C
Dort steht nun z=x+iy in beide Seiten multiplizieren und vereinfachen beim nächsten Schritt kommt dann die Wurzel

\sqrt{(x-1)^2+y^2}

und so weiter, hier ist also auch kein Imaginärteil mehr unter der Wurzel aber als Umformung von z in Real und Imaginärteil ist er noch dabei. (z=x+iy)

Kann ich daraus ziehen dass, sobald ich |z| betrachte und somit die Wurzel ziehe kein Imaginärteil mehr unter der Wurzel stehen darf?

Danke für deine Hilfe, Gruß Matthias

[Che_Netzer]

Das heißt unter einer Wurzel darf niemals ein Imaginärteil
stehen.

Naja, fast. Der Imaginärteil ist wie gesagt reell. Aber eine imaginäre bzw. komplexe Zahl darf unter der Wurzel nicht stehen, das stimmt.
Auch nicht im Quadrat.
Anschauliches Beispiel:
rein imaginäre Zahl. Z.B. 5i
Der Betrag davon wäre - nach der „falschen Methode“: \sqrt{0^2+(5i)^2}=5i
Damit wäre einem nicht sehr geholfen.

Vielleicht hilft es dir auch, dir die komplexe Zahl im Koordinatensystem vorzustellen. Dort ist der Betrag der Abstand zum Nullpunkt. Den berechnet man über den Satz des Pythagoras.
Und wenn die x-Achse den Reelteil angibt und die y-Achse den Imaginärteil, ist der Betrag genau die Wurzel aus x²+y².
(Die y-Achse ist natürlich nicht imaginär beschriftet)

Dazu habe ich dann aber noch eine andere Frage, bei einer
anderen aufgabe sollen wir Mengen zeichnen z.B.
M={z Element C : |z+i|=|z-1|} ober menge von C

Untermenge meinst du vermutlich

z = x+iy
|z|=\sqrt{x^2+y^2}
z-1=x+iy-1 = (x-1)+iy
z+i=x+iy+i = x+(y+1)i

Ich schätze, dein Problem liegt im Begriff Imaginärteil.
Eine komplexe Zahl sieht dabei stets so aus:
z = Re(z) + i*Im(z)
iy ist also nicht der Imaginärteil, auch nicht i allein. Das sind rein imaginäre Zahlen. Der Imaginär_teil_ ist der Vorfaktor zu i.

Und unter Wurzeln solltest du in der Regel keine imaginären/komplexen Zahlen haben.
Möglich ist das aber schon, z.B. ist \sqrt i=\tfrac1{\sqrt2}+\tfrac1{\sqrt2}i.
Aber wenn du einen Betrag ausrechnen möchtest, soll am Ende eine reelle Zahl herauskommen, negative oder gar komplexe Zahlen sind in diesen Wurzeln fehl am Platz.

mfg,
Che Netzer

[Brayn]

Hallo Che,

danke für deine tolle Erklärung.

Also nochmal kurz zum zusammenfassen:

• Den Betrag von z errechne, ich mit Pythagoras (a²+b²=c²), |z| ist Hypotenuse von dem satz des Pythagoras

• Wenn ich den Betrag errechnen will, darf keine negative oder komplexe Zahl unter der Wurzel stehen. Da der Betrag immer reell ist und die Länge zu dem gewünschten Punkt angibt.

• Eine komplexe Zahl besteht aus Realteil und Imaginärteil*i.

• Wenn ich allerdings nicht den Betrag errechne, kann sehr wohl ein (Imaginärteil)*i unter der Wurzel stehen. Da man somit nicht mehr eine Länge (den Abstand von P zum Nullpunkt) berechnet.

Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu den Winkeln.
Wir geben den Winkel in dieser Form an:

e^(i*\pi)

In der Klausur dürfen wir zwar keinen Taschenrechner benutzen aber wir dürfen uns ein DIN A4 Blatt beschriften z.B. mit eine Wertetabelle, so
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:tsjYgDLr3S…

Wenn ich nun in den ersten beiden Quadranten die Winkel berechnen möchte, dann errechne ich mir doch einfach den Wert von

\frac{Imaginaerteil}{Realteil}

und errechne mir das Ergebnis von

\frac{sin}{cos}

aus und schaue dann wie der Wert ist.
Ein Beispiel:
z=-4+4i
=> 2. Quadrant
=>

\frac{4}{-4}=-1

=> in Wertetabelle nachsehen, was -1 ergibt
=>

\frac{\frac{1}{2}*\sqrt2}{-\frac{1}{2}*\sqrt2}=-1

dort steht dann

\frac{3}{4}*\pi

Also wäre mein Ergebenis für den Winkel

e^(\frac{3}{4}*\pi)

das müsste eigentlich stimmen doch wie sieht es jetzt mit dem 3. und 4 Quadrant aus? Dort muss ich doch bestimmt Ankathete und Gegenkathete umdrehen sodass:

\frac{Realteil}{Imaginaerteil}

gilt
Ein Beispiel:
4-4i
=> -1
=>

e^(-\frac{1}{4}*\pi)

hier muss man dann noch aufpassen in welchen Quadrant man sich befindet. Dementsprechend muss ein - vor das i im Exponent wenn sich der Punkt im 3. und 4. Quadrant befindet oder ein Plus wenn sich der Punkt im 1. oder 2. Quadrant befindet.

Sry. für den vielen Text, ich hoffe meine Erklärung war wenigstens einigermaßen verständlich

viele Grüße Matthias

[Che_Netzer]

Berechnung des Betrags und der Polarkoordinaten

• Den Betrag von z errechne, ich mit Pythagoras (a²+b²=c²),
  |z| ist Hypotenuse von dem satz des Pythagoras

So kann man das audrücken.
Der Betrag von z=a+ib ist mit |z|=\sqrt{a^2+b^2} definiert. Das entspricht genau der Hypotenuse, wenn man a und b als Seiten betrachtet.

• Wenn ich den Betrag errechnen will, darf keine negative oder
  komplexe Zahl unter der Wurzel stehen. Da der Betrag immer
  reell ist und die Länge zu dem gewünschten Punkt angibt.

Ja, der Betrag ist vollkommen reell. a und b sind ebenso reell, daher auch die Wurzel.

• Eine komplexe Zahl besteht aus Realteil und Imaginärteil*i.

Genau.
Real- und Imaginärteil sind reell. Der Imaginärteil heißt nur so, weil er bei der Darstellung der Zahl mit der imaginären Zahl i multipliziert wird.

Vielleicht hilft es dir auch, dir die Zahl als Tupel, d.h. als Zahlenpaar vorzustellen. Dann wäre z als (a,b) darstellbar; dort taucht kein i auf, beide Werte sind reell.
Oder - wie gesagt - als Punkt im Koordinatensystem. Dort gibt es auch nur reelle Werte.

• Wenn ich allerdings nicht den Betrag errechne, kann sehr
  wohl ein (Imaginärteil)*i unter der Wurzel stehen. Da man
  somit nicht mehr eine Länge (den Abstand von P zum Nullpunkt)
  berechnet.

Ja, imaginäre bzw. komplexe Zahlen haben auch Wurzeln. Möchte man aber den Betrag ausrechnen, dürfen diese nicht auftauchen.

Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu den Winkeln.
Wir geben den Winkel in dieser Form an:

e^(i*\pi)

Das wäre genau -1.
Du meinst vermutlich e^{i\phi}
Und φ ist der Winkel, der benötigt wird.
Um den zu berechnen, betrachtet man die komplexe Zahl wieder als Punkt im Raum.
Hierbei kennt man bereits die Hypotenuse des betrachteten Dreiecks, das ist der Betrag.
Und man erkennt:
\cos(\phi)=\frac{\text{Im}(z)}{|z|}
Mit dem Arcuscosinus kann man daraus den Winkel bestimmen.
Ist der Imaginärteil jedoch negativ, wird auch der Winkel negativ.
Insgesamt ergibt sich für z=x+iy:
\phi=\text{sgn}(y)\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)

Und eingesetzt:

x+iy=z=\sqrt{x^2+y^2}e^{i\cdot\text{sgn}(y)\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}

mfg,
Che Netzer

[Pontius]

Moin Che,

Und man erkennt:
\cos(\phi)=\frac{\text{Im}(z)}{|z|}

ich habe das noch nicht erkannt:
Wenn cos phi = Ak/Hyp, dann wäre doch cos phi = Re(z)/Betrag von z, oder?
In deinem folgenden Beispiel hast du es ja auch so dargestellt.

Gruß
Pontius

[Che_Netzer]

Hoppla…

Wenn cos phi = Ak/Hyp, dann wäre doch cos phi = Re(z)/Betrag
von z, oder?

Ja, natürlich. Am Ende stimmt es aber zum Glück wieder.
Und die Aussage mit „Wenn der Imaginärteil negativ ist, …“ auch.

Also glücklicherweise nur ein Tippfehler. Bzw. Denkfehler

mfg,
Che Netzer

[Brayn]

Hallo,

dankeschön ich glaub jetzt habe ich es verstanden

lg Matthias