Polyas Abzähltheorie

Wissenschaft Physik
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Hi,

habe noch eine Frage hoffe Ihr könnt mir helfen.
Also:

Aufgabe: Auf wie viele verschiedene Farben lassen sich die Ecken eines Quadrates mit zwei Farben einfärben, wenn zwei Färbungen dann miteinander identifiziert werden sollen, wenn sie durch eine Drehung oder Spiegelung des Quadrates auseinader hervorgehen?
(Lösung mit dem Lema von Burnside und Zyklenzeiger).

Die Lösung mit dem Lema vom Burnside ist mir klar. Mein Problem ist der Zyklenzeiger.

Lösung vom Prof:
g | X(g)

id | (4,0,0,0)
90° | (0,0,0,1)
180° | (0,2,0,1)
270° | (0,0,0,1)

2x 1. |
Spiegelung| (0,2,0,0)

2x 2.
Spiegelung| (2,1,0,0)

und dann die passende Formel aufstellen und ausrechenen. Mein Problem ist eigendlich nur das verstehen von den Klammern z.B. (4,0,0,0) ^= (x1,x2,x3,x4) wann wird eine Drehung x1 oder x2 ? Also wie komme ich auf diese Klammern?

Hoffe ich habe meine Frage nicht als zu umständlich gestellt.

Danke Pfefferkeks

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Hallo,
Du bestimmst die Zyklendarstellung der entsprechenden Permutation und ordnest xi die Anzahl der Zyklen der Länge i zu. Bsp:

2----1
| |
| |
3----4

die Identität entspricht der Permution

1 2 3 4
1 2 3 4

ihre ausgeschriebene Zyklendarstellung ist id=(1)(2)(3)(4) also 4 Einerzyklen daher (x1,x2,x3,x4)=(4,0,0,0). Nehmen wir der 90° Drehung. Die Permutation ist

1 2 3 4
2 3 4 1

in Zyklenschreibweise ergibt sich (1 2 3 4) d.h. ein 4er-Zyklus, also (x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,1).

Gruss
Enno

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Hallo,
die Zyklenzeiger für

180° | (0,2,0,1)
2x 2.
Spiegelung| (2,1,0,0)

solltest Du nochmal überprüfen. Es muß 1*x1+2*x2+3*x3+4*x4=4 gelten. Bei der 180° Drehung wäre z.B. (0,2,0,0) richtig.

Gruss
Enno

4

Hmm,
2*1+1*2=4 - aehh vergiß die 2x2 Spiegelung, nur die 180° Drehung ist suspekt *g*.

Gruss
Enno

5

Danke Dir, hast mir für die Klausur morgen den kopf gerättet :smile:

grüße pfefferkeks