Hallo!
Irgendwie weiß ich gar nicht so genau, wie ich diese Frage formulieren muss:
Ich bastle Polyeder aus den Seitenflächen.
Nehme ich Dreiecke. Jedes hat einen Eckenwinkel von 60°.
Nehme ich drei Dreiecke pro Ecke (Summe der Winkel: 180°), dann bekomme ich einen Tetraeder mit vier Seitenflächen.
Bei vier Dreiecken pro Ecke (Summe der Winkel: 240°), dann wird ein Oktaeder mit 8 Seitenflächen draus.
Bei fünf Dreiecken pro Ecke (Summe der Winkel: 300°) ist es ein Ikosaeder mit 20 Seitenflächen.
Bei sechs Dreiecken (Summe der Winkel: 360°) gibt es keinen Polyeder mehr, sondern eine Ebene mit unendlich vielen Dreiecken.
Drei Quadrate (270°) ⇒ Würfel, 6 Seitenflächen.
Vier Quadrate (360°) ⇒ Ebene, unendliche viele Quadrate.
Drei Fünfecke (324°) ⇒ Dodekaeder, 12 Seitenflächen.
Vier Fünfecke (>360°) passt nicht.
Drei Sechsecke (360°) ⇒ Ebene, unendlich viele Sechsecke.
Ist das Zufall, dass das immer genau aufgeh? (Also warum bleibt nach 11 Fünfecken genau ein Loch übrig, in das wieder ein Fünfeck passt?)
Michael
Hallo,
hilft Dir Wiki weiter?
http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper
Sonst müßtest Du die Frage doch noch mal präzisieren.
Gruß,
KHK
Das ist bestimmt kein Zufall; trotzdem verstehe ich die Frage nicht…
Ich habe diese sogen. Platonischen Körper mal aus Rund-Plexiglas (als Kanten) gebastelt, wobei die Kanten alle gleich lang und auf Gehrung geschnitten wurden, bevor sie zusammengeklebt wurden. Soll ich ein Foto von diesen Körpern zeigen?
Grüße von
enricoernesto
Naja, das ist eine interessante frage…
Ich würde sagen es verhält sich wie ein Puzzleteil, da du aber nur gleiche puzzleteile hast, werden sie ewig in eine unendlich lange kette passen 
Schließlich sehen die 5-Ecke auch alle gleich aus und passen so natürlich alle gleich zusammen.
Hallo,
hier sind meine Plexiglas-Körper:
http://www.pic-upload.de/view-7551325/Zauberei-8.jpg…
enricoernesto
Hallo Michael,
ja, das ist tatsächlich Zufall (oder, je nach Glaubensrichtung, eine Spur von Gottes Wirken). Man beweist (so, wie Du das gemacht hast), dass es höchstens diese fünf regelmäßigen Körper geben kann. Dass das tatsächlich aufgeht, muss man dann immer noch beweisen, und wie Du in der Wiki lesen kannst, ist das nicht trivial.
Wenn ich mich recht erinnere (man möge mich gegebenenfalls korrigieren), geht das in vier Dimensionen nicht mehr so leicht. (Man nehme in jede Ecke drei Tetraeder … dann erhält man ein Pentachor.) In Dimension vier gibt es dann sechs reguläre »Körper«, in allen höheren Dimensionen jeweils drei. Das hat Ludwig Schläfli geziegt, und es war wohl ein ganzes Stück Arbeit.
Die sechs regelmäßigen Polychore (4-dimensionale „Körper“) kannst Du übrigens hier anschauen. Es gibt Polychore mit 3, 4 oder 5 Tetraedern in jeder Ecke, mit drei Würfeln, drei Oktaedern oder drei Dodekaedern. Bei den 5- oder höherdimensionalen Körpern gibt es dann nur noch 3 oder 4 „Tetraeder/Pentachore/…“ (sozusagen verallgemeinerte Tetraeder) pro Ecke (und man kann sich jetzt fragen: warum nicht fünf?) oder 3 „Würfel“ pro Ecke.
Liebe Grüße
Immo
