Hilfe und bitte schnell!
Am Montag habe eine große Mathe-Klausur (Klasse 11) und ich habe schon zwei Wochen geübt. Heute fällt mir auf: Oh, da kommt was in der Arbeit dran, wo ich krank war. Und ich versteh’s nicht und meine Mathelehrerin habe ich erst wieder am Montag, wenn die Klausur geschrieben wird…Ich hab schon im Mathebuch, Lexikon und im Web nachgelesen, aber ich versteh’s (noch) nicht!
Könnte mir das jemand mal genau erklären??? Es wäre mir total wichtig:
Der Beweis, warum jedes Polyeder zwei Ecken hat, von denen gleich viele Ecken ausgehen.
Dabei versteh ich auch nicht, was ein Polyeder überhaupt ist…
0 = x² - x + 1/3 : Zeige, dass für jede reelle Zahl x diese Ungleichung gilt.
Bitte helft mir, das wär sooooooo nett von euch! Danke!
0 = x² - x + 1/3 : Zeige, dass für jede reelle Zahl x
diese Ungleichung gilt.
kleine Überlegung:
x-x = 0
x^2 -x >=0 f. x Element |R+, da x^2 grösser ist als x (ausser f. x=0)
(jetzt müsste man aber wissen, was alles an Bekanntem vorausgesetztwerden darf, um den Beweis weiterzuführen)
0 = x² - x + 1/3 : Zeige, dass für jede reelle Zahl x
diese Ungleichung gilt.
Rechne die Nullstellen aus
der war gut… x2 – x + 1/3 hat keine einzige (reelle) Nullstelle.
Lösung: x2 – x + 1/3 ist eine quadratische Parabel, die als solche genau einen Scheitelpunkt besitzt. Dieser ist – da die Parabel nach oben geöffnet ist – ihr globales Minimum. Deshalb genügt es zu zeigen, dass die y-Koordinate des Scheitelpunkts > 0 ist.
Rechnung: (x2 – x + 1/3)’ = 2 x – 1. Das wird Null für x = 1/2. Der Funktionswert an dieser Stelle ist (1/2)2 – 1/2 + 1/3 = … = 1/12 > 0. Fertig.
Dann hast du nur ein Intervall (]-oo, +oo[) und brauchst dann
nur einen Punkt betrachten. Es gibt viele Wege, die zum Ziel
führen.
wo Du recht hast, hast Du recht. Man kann die Aufgabe auch über die Nullstellen lösen und braucht dann keine Differentiation.
Eine mögliche Argumentation wäre: x2 – x + 1/3 hat keine (reelle) Nullstelle, denn
x2 – x + 1/3 = 0 ⇔ x2 – x = –1/3 ⇔ x2 – x + 1/4 = 1/4 – 1/3 2 2 2 – x + 1/3 hat also keine (reelle) Nullstelle und muss somit entweder komplett oberhalb oder komplett unterhalb der x-Achse liegen. Da der Funktionswert an der Stelle x = 0 gleich 1/3 ist, liegt sie komplett oberhalb der x-Achse → Alle y-Werte positiv → x2 – x + 1/3 > 0 für alle x ∈ IR.
Merkt ihr eigentlich beide nicht, dass ihr euch gar nicht über die Aufgabenstellung unterhaltet die ursprünglich in der Frage gestellt wurde. Es ging darum, dass x2-x+1/3>=2 und nicht >0.
wo Du recht hast, hast Du recht. Man kann die Aufgabe auch
über die Nullstellen lösen und braucht dann keine
Differentiation.
Wobei ich deinen Ansatz eigentlich (mittlerweile) schöner finde. Die Ableitung ist in diesem Fall einfacher als das Nullsetzen.
Eine mögliche Argumentation wäre: x2 –
x + 1/3 hat keine (reelle) Nullstelle, denn
[…] aber die Ungleichung (…)22 – x + 1/3 hat also keine (reelle)
Nullstelle und muss somit entweder komplett oberhalb oder
komplett unterhalb der x-Achse liegen. Da der Funktionswert an
der Stelle x = 0 gleich 1/3 ist, liegt sie komplett oberhalb
der x-Achse → Alle y-Werte positiv →
x2 – x + 1/3 > 0 für alle x ∈
IR.
Ja, genau so hatte ich mir das gedacht gehabt. Ist aber vielleicht doch ein wenig zu kompliziert.
Der Beweis, warum jedes Polyeder zwei Ecken hat, von denen
gleich viele Ecken ausgehen.
Dabei versteh ich auch nicht, was ein Polyeder überhaupt
ist…
Zur zweiten Frage (der mit den drei Punkten…):
Ein Polyeder ist einfach ein Körper mit geraden Flächen, aber das sagt Dir ja schon Wikipedia. Wo ist das Verständnisproblem genau? Was ein Körper ist, weißt Du? Und was eine Fläche ist, auch? Und dann darf da halt nichts gekrümmt sein, wie das z.B. beim Kegel oder Zylinder wär.
Für den Beweis hab ich leider keine Idee, obwohl ich bestimmt schon eine halbe Stunde darüber nachdenke.
0 = x² - x + 1/3 : Zeige, dass für jede reelle Zahl x
diese Ungleichung gilt.
Bitte helft mir, das wär sooooooo nett von euch! Danke!
Beim Beweis dieser Ungleichung führt die quadratische Ergänzung am schnellsten zum Ziel, die wir alle mal gelernt haben, um Parabeln in ein Koordinatensystem zu zeichnen und um die p-q-Formel herzuleiten, zu deren Gunsten die meisten Schüler die quadratische Ergänzung leider wieder vergessen.
Was wissen wir denn? Dass jedes Quadrat größer oder gleich null ist. Also schauen wir doch mal, ob sich die Ungleichung nicht so schreiben lässt, dass x nur noch in einem quadrierten Term vorkommt.
Wir erinnern uns dazu an die binomische Formel (x+a)²=x²+2ax+a². Damit das x also nur in der Klammer vorkommt, muss a=-1/2 sein: (x-1/2)²=x²-x+1/4.
Nun steht in deiner Gleichung ja nicht 1/4, sondern 1/3, also ziehn wir das Viertel schnell wieder ab:
x²-x = (x-1/2)²-1/4
x²-x+1/3 = (x-1/2)²-1/4+1/3 = (x-1/2)²+1/12 > (x-1/2)² >= 0 q.e.d.
Der Beweis, warum jedes Polyeder zwei Ecken hat, von denen
gleich viele Ecken ausgehen.
Für den Beweis hab ich leider keine Idee,
man kann es leicht durch Widerspruch zeigen. Annahme: Es gibt einen Polyeder mit N Ecken, der keine zwei Ecken hat, von denen gleich viele Kanten ausgehen. Ein solcher Polyeder hat die minimale Anzahl an Kanten, wenn von irgendeiner seiner Ecken nur 3 Kanten ausgehen, von einer anderen 4, von einer weiteren 5 und so weiter. Gleiche Eckenanzahlen sind ja verboten. An der kantenhöchstzahligen Ecke müssen dann genau N + 2 Kanten zusammenstoßen. Dies ist aber unmöglich, denn wenn der Polyeder N Ecken hat, dann können an einer Ecke höchstens N – 1 Kanten zusammenstoßen, nämlich dann, wenn diese Ecke mit jeder anderen Ecke über eine Kante verbunden ist.
man kann es leicht durch Widerspruch zeigen. Annahme: Es gibt
einen Polyeder mit N Ecken, der keine zwei Ecken hat, von
denen gleich viele Kanten ausgehen. Ein solcher Polyeder hat
die minimale Anzahl an Kanten, wenn von
irgendeiner seiner Ecken nur 3 Kanten ausgehen, von einer
anderen 4, von einer weiteren 5 und so weiter. Gleiche
Eckenanzahlen sind ja verboten. An der kantenhöchstzahligen
Ecke müssen dann genau N + 2 Kanten zusammenstoßen. Dies ist
aber unmöglich, denn wenn der Polyeder N Ecken hat, dann
können an einer Ecke höchstens N – 1 Kanten zusammenstoßen,
nämlich dann, wenn diese Ecke mit jeder anderen
Ecke über eine Kante verbunden ist.
Och nee, und ich dokter die ganze Zeit an einer maximalen Anzahl von Flächen unter der gegebenen Bedingung, oberen Schranken an die Eckenzahl und dergl. rum. Da hätt man ja echt drauf kommen können!
