Polyederoberfläche

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hi zusammen,

ich werd Euch auch weiterhin
eher schwierige Rätsel vorsetzen.

Sei ein bestimmter Polyeder (räumlicher Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Stücken besteht) unregelmäßiger Form gegeben. Jede seiner Begrenzungsflächen berührt eine in seinem Inneren liegende Kugel (Inkugel). Wenn man den Polyeder nun vergrößert oder verkleinert (und mit ihm die Inkugel) dann ändert sich sowohl sein Volumen als auch seine Oberfläche.

Angenommen ich verrate die Formel für sein Volumen in Abhängigkeit vom Radius r seiner Inkugel, benutze dabei aber die drei Funktionen f , g und h, die ich nicht explizit angebe.

V® = f® + g® * h®

Ich suche nun eine Formel O® = …??? die seine Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius der Inkugel angibt.

Wie lautet die Formel für die Oberfläche? Die Funktionen f, g und h dürfen natürlich in dieser Formel vorkommen.

na dann brecht euch mal die Zähne aus.

viel Spaß beim knobeln wünscht unimportant

#2

Lösung
Mahlhzeit

Sei ein bestimmter Polyeder (räumlicher Körper, dessen
Oberfläche aus ebenen Stücken besteht) unregelmäßiger Form
gegeben. Jede seiner Begrenzungsflächen berührt eine in seinem
Inneren liegende Kugel (Inkugel). Wenn man den Polyeder nun
vergrößert oder verkleinert (und mit ihm die Inkugel) dann
ändert sich sowohl sein Volumen als auch seine Oberfläche.

Angenommen ich verrate die Formel für sein Volumen in
Abhängigkeit vom Radius r seiner Inkugel, benutze dabei aber
die drei Funktionen f , g und h, die ich nicht explizit
angebe.

V® = f® + g® * h®

Ich suche nun eine Formel O® = …??? die seine Oberfläche
in Abhängigkeit vom Radius der Inkugel angibt.

Wie lautet die Formel für die Oberfläche? Die Funktionen f, g
und h dürfen natürlich in dieser Formel vorkommen.

Für jeden Polyeder kann ich definieren: a=spezifische Kantenlänge
für die gilt:
(1) r=a *Kr;
(2) O=a^2*Ko;
(3) V=a^3*Kv
mit Kr,Ko,Kv = konstant

(1) umgestellt nach a und in (2) und (3) eingesetzt ergibt:

(4) V®=r^3*Kv/Kr^3
(5) O®=r^2*Ko/Kr^2

Ich erweitere O® um (r*Kv/Kr)*(Kr/(r*Kv)) und setze dann (4) in (5) ein und erhalte:

(6) O® = (V®/r) * (Ko*Kr/Kv)

Jetzt wirds allerdings haarig…
Für alle regelmäßigen Polyeder gilt:

(7) Ko*Kr/Kv = 3

=> O® = V® * 3/r
und anstelle von V® kann ich auch die oben genannte Formel nutzen.

Das wäre die Lösung und entspricht auch dem Verhältnis an der Kugel, da sie ja letztlich nichts anderes ist als ein regelmäßiger Polyeder mit unendlich vielen Flächen.

Fragt sich nur, ob dies auch für unregelmäßige Polyeder zutrifft…

Nehmen wir also eine 4-seitige Pyramide. Quadratische Grundfläche der Kantenlänge 10, also Grundfläche 100. Die Kanten der Seitenflächen seien ebenfalls 10 lang, wir haben also gleichseitige Dreieicke mit einer Fläche von je 43,3013.

Die Oberfläche dieses Körpers wäre demnach 273,2051. Sein Volumen, da er ein halbierter Oktaeder mit der Kantenlänge 10 ist wäre 235,7023.

Mit der obigen Formel ergäbe sich ein Inkugelradius von r = 2,5882… Und das ist tatsächlich genau der Inkreisradius des gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundlänge 10 und der Seitenlänge 7,0711…

(7,0711 ist ürbigens die Höhe der Pyramide)

Q.E.D.

schönen Sonntag noch,
der Guido

#3

Leider noch nicht so ganz
Hallo,

zunächst mal vielen Dank für Deine Mühe,

und was Du schreibst ist auch alles richtig.

Tatsächlich gilt V(a)=Kv*a^3 und O(a)=Ko*a^2
und a = r*Kr (letzteres zumindest für regelmäßige Polyeder) für irgendwelche Konstanten Kv und Ko, Kr

Das Problem ist aber, die Formel für das Volumen ist
nicht in dieser Form gegeben sondern

V® = f® + g® * h®

Gefragt ist, was ist O® ohne Kenntniss der Konstanten?

wäre der Pölyeder ein Würfel so könnte z.B.

f® = 2*r^3
g® = 3*r^2
h® = 2*r^(3/2)
sein

natürlich gilt damit für irgendein Kv

f® + g® * h® = Kv*a^3 : wobei ja hier aber explizit ein unregelmäßiger Polyeder ohne einheitliches a angenommen wird.

Zudem hängen diese Konstanten ja von der speziellen Form des Polyeders ab, über die hier nichts ausgesagt wird.

aber - gegeben ist absichtlich die linke Form des Volumens und nicht die rechte. Somit sind neben r , die Funktionen f,g und h die - wenn auch variablen - Bekannten und nicht die Konstanten
Ko, Kv, und Kr und die Formel für die Oberfläche ist daher unter Verwendung von f,g und h und nicht mit den Unbekannten Konstanten Ko,Kv und Kr auszudrücken. Das geht, aber es ist
trickreicher als der Ansatz mit den Konstanten. Und es setzt keine Kenntnis über die Art des Polyeders und der Konstanten voraus.

Also die Lösung sollte etwa so aussehen:

O® = 3*g®/h® - f®^2

Diese Formel ist natürlich Blödsinn, und stimmt nicht, aber es gibt eine ganz andere so gestrickte Formel, welche stimmt und die ist gesucht.

Na, hat jemand eine Idee?

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

Hallo,

zunächst mal vielen Dank für Deine Mühe,

und was Du schreibst ist auch alles richtig.

Tatsächlich gilt V(a)=Kv*a^3 und O(a)=Ko*a^2
und a = r*Kr (letzteres zumindest für regelmäßige Polyeder)
für irgendwelche Konstanten Kv und Ko, Kr

Das Problem ist aber, die Formel für das Volumen ist
nicht in dieser Form gegeben sondern

V® = f® + g® * h®

Gefragt ist, was ist O® ohne Kenntniss der Konstanten?

Sag ich doch:
O® = [f® + g® * h®] * 3/r

Keine Konstanten mehr drin :wink:

wäre der Pölyeder ein Würfel so könnte z.B.

f® = 2*r^3
g® = 3*r^2
h® = 2*r^(3/2)
sein

natürlich gilt damit für irgendein Kv

f® + g® * h® = Kv*a^3 : wobei ja hier aber explizit ein
unregelmäßiger Polyeder ohne einheitliches a angenommen wird.

Ich brauche kein einheitliches a, sondern nur ein spezifisches a. Und nichtmal das muß ich wirklich kennen.

Zudem hängen diese Konstanten ja von der speziellen Form des
Polyeders ab, über die hier nichts ausgesagt wird.

Behauptung :
Für jedes unregelmäßige Polyeder, in das sich eine Inkugel hineinschreiben läßt, die jede Fläche des Polyeders berührt gilt:
O® = V® * 3/r.

… Na das widerleg erstmal :wink:)

Schönen Sonntag,
der Guido

1 Like
#5

Bingo!
Hi Guido,

Sag ich doch:
O® = [f® + g® * h®] * 3/r

Keine Konstanten mehr drin :wink:

ich kann nur sagen : vollkommen korrekt.

Für jedes unregelmäßige Polyeder, in das sich eine Inkugel
hineinschreiben läßt, die jede Fläche des Polyeders berührt
gilt:
O® = V® * 3/r.

… Na das widerleg erstmal :wink:)

Kann ich nicht, weil das stimmt ja schliesslich.

beste Grüße

unimportant